如图，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，\(BE\)是弦，点\(D\)是弦\(BE\)上一点，连接\(OD\)并延长交\(⊙O\)于点\(C\)，连接\(BC\)，过点\(D\)作\(FD⊥OC\)交\(⊙O\)的切线\(EF\)于点\(F\)．

\((2)\)若\(⊙O\)的半径是\(2\sqrt{3}\)，点\(D\)是\(OC\)中点，\(\angle CBE=15{}^\circ \)，求线段\(EF\)的长．

对于平面上两点\(A\)，\(B\)，给出如下定义：以点\(A\)或\(B\)为圆心，\(AB\)长为半径的圆称为点\(A\)，\(B\)的“确定圆”\(.\)如图为点\(A\)，\(B\)的“确定圆”的示意图．

   \((1)\)已知点\(A\)的坐标为\((-1,0)\)，点\(B\)的坐标为\((3,3)\)，则点\(A\)，\(B\)的“确定圆”的面积为_________；

   \((2)\)已知点\(A\)的坐标为\((0,0)\)，若直线\(y=x+b\)上只存在一个点\(B\)，使得点\(A\)，\(B\)的“确定圆”的面积为\(9\pi \)，求点\(B\)的坐标；

   \((3)\)已知点\(A\)在以\(P\left(m,0\right) \)为圆心，以\(1\)为半径的圆上，点\(B\)在直线\(y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}\)上，若要使所有点\(A\)，\(B\)的“确定圆”的面积都不小于\(9\pi \)，直接写出\(m\)的取值范围．

如图，以\(AB\)为直径作\(⊙O\)，过点\(A\)作\(⊙O\)的切线\(AC\)，连结\(BC\)，交\(⊙O\)于点\(D\)，点\(E\)是\(BC\)边的中点，连结\(AE\)．

\((1)\)求证：\(∠AEB=2∠C\)；

\((2)\)若\(AB=6\)，\(\cos B=\dfrac{3}{5}\)，求\(DE\)的长．

如图\(1\)，对于平面内的点\(P\)和两条曲线\({{L}_{1}}\)、\({{L}_{2}}\)给出如下定义：若从点\(P\)任意引出一条射线分别与\({{L}_{1}}\)、\({{L}_{2}}\)交于\({{Q}_{1}}\)、\({{Q}_{2}}\)，总有\(\dfrac{P{{Q}_{1}}}{P{{Q}_{2}}}\)是定值，我们称曲线\({{L}_{1}}\)与\({{L}_{2}}\)“曲似”，定值\(\dfrac{P{{Q}_{1}}}{P{{Q}_{2}}}\)为“曲似比”，点\(P\)为“曲心”．

    例如：如图\(2\)，以点\(O{{'}}\)为圆心，半径分别为\({{r}_{1}}\)、\({{r}_{2}}(\)都是常数\()\)的两个同心圆\({{C}_{1}}\)、\({{C}_{2}}\)，从点\(O{{'}}\)任意引出一条射线分别与两圆交于点\(M\)、\(N\)，因为总有\(\dfrac{O{{{'}}}M}{O{{{'}}}N}=\dfrac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}\)是定值，所以同心圆\({{C}_{1}}\)与\({{C}_{2}}\)曲似，曲似比为\(\dfrac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}\)，“曲心”为\(O{{'}}\)．

    \((1)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(y=kx\)与抛物线\(y={{x}^{2}}\)、\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)分别交于点\(A\)、\(B\)，如图\(3\)所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；

    \((2)\)在\((1)\)的条件下，以\(O\)为圆心，\(OA\)为半径作圆，过点\(B\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(C\)，是否存在\(k\)值，使\(⊙O\)与直线\(BC\)相切？若存在，求出\(k\)的值；若不存在，说明理由；

    \((3)\)在\((1)\)、\((2)\)的条件下，若将“\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)”改为“\(y=\dfrac{1}{m}{{x}^{2}}\)”，其他条件不变，当存在\(⊙O\)与直线\(BC\)相切时，直接写出\(m\)的取值范围及\(k\)与\(m\)之间的关系式．

如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，弦\(EF\bot AB\)于点\(C\)，过点\(F\)作\(\odot O\)的切线交\(AB\)的延长线于点\(D\)．

\((1)\)已知\(\angle A=\alpha \)，求\(\angle D\)的大小\((\)用含\(\alpha \)的式子表示\()\)；

\((2)\)取\(BE\)的中点\(M\)，连接\(MF\)，请补全图形；若\(\angle A={30}{}^\circ \)，\(MF=\sqrt{7}\)，求\(\odot O\)的半径．

如图，在\(⊙O\)中，\(C\)，\(D\)分别为半径\(OB\)，弦\(AB\)的中点，连接\(CD\)并延长，交过点\(A\)的切线于点\(E\)．

\((1)\)求证：\(AE⊥CE\)．

\((2)\)若\(AE=\sqrt{2}\)，\(\sin ∠ADE=\dfrac{1}{3}\)，求\(⊙O\)半径的长．

如图，\(⊙O\)的半径为\(r\) ，\(\triangle ABC\)内接于\(⊙O\)，\(∠BAC=15^{\circ}\)，\(∠ACB=30^{\circ}\)，\(D\)为\(CB\)延长线上一点，\(AD\)与\(⊙O\)相切，切点为\(A\)．

\((1)\)求点\(B\)到半径\(OC\)的距离\((\)用含\(r\)的式子表示\()\)；

\((2)\)作\(DH⊥OC\)于点\(H\)，求\(∠ADH\)的度数及\(\dfrac{CB}{CD}\)的值．

对于平面内的\(⊙C\)和\(⊙C\)外一点\(Q\)，给出如下定义：若过点\(Q\)的直线与\(⊙C\)存在公共点，记为点\(A\)，\(B\)，设\(k=\dfrac{AQ+BQ}{CQ}\)，则称点\(A(\)或点\(B)\)是\(⊙C\)的“\(k\)相关依附点”\(.\)特别地，当点\(A\)和点\(B\)重合时，规定\(AQ=BQ\)，\(k=\dfrac{2AQ}{CQ}(\)或\(\dfrac{2BQ}{CQ}).\)已知在平面直角坐标系\(xOy\)中，\(Q(-1,0)\)，\(C(1,0)\)，\(⊙C\)的半径为\(r\)．

\((1)\)如图，当\(r=\sqrt{2}\)时，

\(①\)若\({{A}_{1}}(0,1)\)是\(⊙C\)的“\(k\)相关依附点”，则\(k\)的值为______；

\(②{{A}_{{2}}}(1+\sqrt{2},0)\)是否为\(⊙C\)的“\(2\)相关依附点”\(?\)答：是______\((\)选“是”或“否”\()\)；

\((2)\)若\(⊙C\)上存在“\(k\)相关依附点”点\(M\)，

\(①\)当\(r =1\)，直线\(QM\)与\(⊙C\)相切时，求\(k\)的值；

\(②\)当\(k=\sqrt{3}\)时，求\(r\)的取值范围；

\((3)\)若存在\(r\)的值使得直线\(y=-\sqrt{3}x+b\)与\(⊙C\)有公共点，且公共点是\(⊙C\)的“\(\sqrt{{3}}\)相关依附点”，直接写出\(b\)的取值范围．