知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|² ，所以A，B两点间的距离为AB= $\text{[math]}$ ．
我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|² ，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r² ．
问题拓展：
如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为　（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²　．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．

难度：中等

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2．小明是个爱动脑筋的孩子，他在学完与圆有关的角圆周角、圆心角后，意犹未尽，又查阅到了与圆有关的另一种角﹣﹣﹣﹣﹣﹣弦切角．请同学们先仔细阅读下面的材料，再完成后面的问题．
材料：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．如图1，弧 $\text{[math]}$ 是弦切角∠PAB所夹的弧，他发现弦切角与它所夹的弧所对的圆周角有关系．

问题1：如图2，直线DB切⊙O于点A，∠PCA是圆周角，当圆心O位于边AC上时，
求证：∠PAD=∠PCA，请你写出这个证明过程．
问题拓展：
如果圆心O不在∠PCA的边上，∠PAD=∠PCA还成立吗？如图3，当圆心O在∠PCA的内部时，小明证明了这个结论是成立的．他的思路是：作直线AE，联结PE，由问题1的结论可知∠PAD=∠PEA，而∠PCA=∠PEA，从而证明∠PAD=∠PC．
问题2：如图4，当圆心O在∠PCA的外部时，∠PAD=∠PCA仍然成立．请你仿照小明的思路证明这个结论．
运用：如图5，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．（提示：可以直接使用本题中的结论）

难度：中等

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