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          共50条信息

            • 1．

              如图，在平面直角坐标系中，已知点\(A(-2,0)\)，\(B(1,3)\)设经过\(A\)，\(O\)两点且顶点\(C\)在直线\(AB\)上的抛物线为\(m\)．


              \((1)\)求直线\(AB\)和抛物线\(m\)的函数解析式．
              \((2)\)若将抛物线\(m\)沿射线\(AB\)方向平移\((\)顶点\(C\)始终在\(AB\)上\()\)，设移动后的抛物线与\(x\)轴的右交点为\(D\)．

              \(①\)在上述移动过程中，当顶点\(C\)在水平方向上移动\(3\)个单位长度时，\(A\)与\(D\)之间的距离是多少？

              \(②\)当顶点在水平方向移动\(a(a > 0)\)个单位长度时，请用含\(a\)的代数式表示\(AD\)的长．

              难度：难
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            • 2．

              实际问题：某学校共有\(18\)个教学班，每班的学生数都是\(40\)人\(.\)为了解学生课余时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有\(10\)人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？

              建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：

              在不透明的口袋中装有红、黄、白三种颜色的小球各\(20\)个\((\)除颜色外完全相同\()\)，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有\(10\)个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

              为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化：

              \((1)\)我们首先考虑最简单的情况：即要确保从口袋中摸出的小球至少有\(2\)个是同色的，则最少需摸出多少个小球？

              假若从袋中随机摸出\(3\)个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需再从袋中摸出\(1\)个小球就可确保至少有\(2\)个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：\(1+3=4(\)如图\(①)\)；

              \((2)\)若要确保从口袋中摸出的小球至少有\(3\)个是同色的呢？

              我们只需在\((1)\)的基础上，再从袋中摸出\(3\)个小球，就可确保至少有\(3\)个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：\(1+3\times 2=7(\)如图\(②)\)

              \((3)\)若要确保从口袋中摸出的小球至少有\(4\)个是同色的呢？

              我们只需在\((2)\)的基础上，再从袋中摸出\(3\)个小球，就可确保至少有\(4\)个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：\(1+3\times 3=10(\)如图\(③)\)：

              \(\cdots \cdots \)

              \((4)\)若要确保从口袋中摸出的小球至少有\(10\)个是同色的呢？

              我们只需在\((3)\)的基础上，再从袋中摸出\(3\)个小球，就可确保至少有\(10\)个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：\(1+3\times (10-1)=28(\)如图\(④)\)


              模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿五种颜色的小球各\(20\)个\((\)除颜色外完全相同\()\)，现从袋中随机摸球：

              \((1)\)若要确保摸出的小球至少有\(2\)个同色，则最少需摸出小球的个数是_________；

              \((2)\)若要确保摸出的小球至少有\(10\)个同色，则最少需摸出小球的个数是________；

              \((3)\)若要确保摸出的小球至少有\(n\)个同色\((n < 20)\)，则最少需摸出小球的个数是_______．

              模型拓展二：在不透明口袋中装有\(m\)种颜色的小球各\(20\)个\((\)除颜色外完全相同\()\)，现从袋中随机摸球：

              \((1)\)若要确保摸出的小球至少有\(2\)个同色，则最少需摸出小球的个数是__________．

              \((2)\)若要确保摸出的小球至少有\(n\)个同色\((n < 20)\)，则最少需摸出小球的个数是______．

              问题解决：\((1)\)请把本题中的“实际问题”转化为一个从口袋中摸球的数学模型；

              \((2)\)根据\((1)\)中建立的数学模型，求出全校最少需抽取多少名学生．

              难度：中等
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            • 3．

              \((1)\)操作发现：

                 如图\(①{{'}}\)在正方形\(ABCD\)中，过\(A\)点有直线\(AP\)，点\(B\)关于\(AP\)的对称点为\(E\)，连接\(DE\)交\(AP\)于点\(F\)，当\(∠BAP=20^{\circ}\)时，则\(∠AFD=\)      \({\,\!}^{\circ}\)；当\(∠BAP=α^{\circ}(0 < α < 45^{\circ})\)时，则\(∠AFD=\)    \({\,\!}^{\circ}\)；猜想线段\(DF\)， \(EF\)， \(AF\)之间的数量关系：\(DF-EF=\)      \(AF(\)填系数\()\)；

                 \((2)\)数学思考：

                 如图\(②\)，若将“正方形\(ABCD\)中”改成“菱形\(ABCD\)中，\(∠BAD=120^{\circ}\)”，其他条件不变，则\(∠AFD=\)      \({\,\!}^{\circ}\)；线段\(DF\)， \(EF\)， \(AF\)之间的数量关系是否发生改变，若发生改变，请写出数量关系并说明理由；

                 \((3)\)类比探究：

              如图\(③\)，若将“正方形\(ABCD\)中”改成“菱形\(ABCD\)中，\(∠BAD=α^{\circ}\)”，其他条件不变，则\(∠AFD=\)      \({\,\!}^{\circ}\)；请直接写出线段\(DF\)，\(EF\)，\(AF\)之间的数量关系：             ．

              难度：难
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            • 4．

              求证：对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形。

              难度：较易
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            • 5．
              甲，乙，丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局\(.\)已知甲，乙各比赛了\(4\)局，丙当了\(3\)次裁判\(.\)问第\(2\)局的输者是\((\)　　\()\)
              A．甲
              B．乙
              C．丙
              D．不能确定
              难度：中等
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            • 6．

              对于非零实数\(a\)，\(b\)，规定\(a⊕b= \dfrac{1}{b}- \dfrac{1}{a} \)，若\(2⊕\left(2x-1\right)=1 \)，则\(x\)的值为        ．

              难度：较难
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            • 7． 阅读下列材料：
              “数学王子”高斯从小就善于观察和思考\(.\)在他读小学时就能在课堂上快速地计算出\(1+2+3+…+99+100=5050\)，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
              令\(S=1+2+3+…+99+100\)  \(①\)，
              \(S=100+99+98+…+2+1\)   \(②\)
              \(①+②\)：有\(2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=101×100\)
              解得：\(S=5050\)
              请 类比以上做法，回答下列问题：
              \((1)\)填空：\(1+2+3+…+499+500= \)______ ；

              \((2)\)计算：\(2+4+6+…+998+1000\)的值 ；

              \((3)\)探究：\(1+2+3+…+(n-1)+n= \)______ ；\((\)用含\(n\)的代数式表示，写出解答过程\()\)
              难度：较难
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            • 8．

              电脑系统中有个\(＂\)扫雷\(＂\)游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块\((\)最多八个\()\)中雷的个数\((\)实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的 都标出来了，以示与未掀开者的区别\()\)，如图甲中的\(＂\) \(＂\)表示它的周围八个方块中仅有 个埋有雷\(.\)图乙是张三玩游戏中的局部，图中有 个方块己确定是雷\((\)方块上标有旗子\()\)，则图乙第一行从左数起的七个方块中\((\)方块上标有字母\()\)，能够确定一定是雷的有                       \(.(\)请填入方块上的字母\()\)

                    

              难度：难
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            • 9．

              \(\triangle ABC\)中，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(D\)为直线\(BC\)上一动点\((\)点\(D\)不与\(B\)，\(C\)重合\()\)，以\(AD\)为边在\(AD\)右侧作正方形\(ADEF\)，连接\(CF\)．

              \((1)\)如图\(1\)，当点\(D\)在线段\(BC\)上时，\(①BC\)与\(CF\)的位置关系为：            \(.②BC\)，\(CD\)，\(CF\)之间的数量关系为：            ；\((\)将结论直接写在横线上\()\)

              \((2)\)如图\(2\)，当点\(D\)在线段\(CB\)的延长线上时，结论\(①\)，\(②\)是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

              \((3)\)如图\(3\)，当点\(D\)在线段\(BC\)的延长线上时，延长\(BA\)交\(CF\)于点\(G\)，连接\(GE.\)若已知\(AB=2 \sqrt{2} \)，\(CD=BC\)，请求出\(GE\)的长．

              难度：难
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            • 10．

              若整数\(a\)能被整数\(b\)整除，则一定存在整数\(n\)，使得\( \dfrac{a}{b}=n \)，即\(a=bn\)，例如：若整数\(a\)能被\(11\)整除，则一定存在整数\(n\)，使得\(\dfrac{a}{11}=n\)，即\(a=11n\)，一个能被\(11\)整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被\(11\)整除，如：\(42559\)奇数位的数字之和为\(4+5+9=18\)，偶数位的数字之和为\(2+5=7\)，\(18-7=11\)是\(11\)的倍数，所以\(42559\)为“光棍数”。

              \((1)\)请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；

              \((2)\)若七位整数\(175m62n\)能被\(11\)整除，请求出所有符合要求的七位整数。

              难度：难
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