知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知，如图1，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直线DC于点Q．
（1）当∠PEC=70°时，求∠DPQ；
（2）当∠PEC=4∠DPQ时，求∠APE；
（3）如图3，将△PDQ沿PQ翻折使点D的对应点D′落在BC边上，当∠QD′C=40°时，请直接写出∠PEC的度数，答：．

难度：中等

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2．已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：
（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．
（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有个．
（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

难度：中等

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3．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB₁折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B₁A₁C的平分线A₁B₂折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B_nA_nC的平分线A_nB_n+1折叠，点B_n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称△ABC是好三角形．

小丽发现好三角形折叠的次数不同∠B与∠C的数量关系就不同．并作出展示：
第一种好三角形：如图2，沿AD折叠一次，点B与点C重合；
第二种好三角形：如图3，沿着AB₁、A₁B₂经过两次折叠．
（1）小丽展示的第一种好三角形中∠B与∠C的数量关系是；
（2）如果有一个好三角形ABC要经过5次折叠，最后一次恰好重合．则∠B与∠C的数量关系是．

难度：中等

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4．（2015秋•诏安县期中）定义：长宽比为
n
：1（n为正整数）的矩形称为
n
矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个
2
矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．
则四边形BCEF为
2
矩形．
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=
12+12
=
2
．
由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形．
∴∠A=∠BFE．
∴EF∥AD．
∴
BG
BD
=
BF
AB
，即
1
2
=
BF
1
．
∴BF=
1
2
．
∴BC：BF=1：
1
2
=
2
：1．
∴四边形BCEF为
2
矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与CH相等的线段是．
（2）已知四边形BCEF为
2
矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是
3
矩形；
（3）将图②中的
3
矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“
n
矩形”，则n的值是．

难度：中等

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5．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD₁E₁，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD₁与CE₁的交点为P．

（1）求证：BD₁=CE₁；
（2）当∠CPD₁=2∠CAD₁时，求CE₁的长；
（3）连接PA，△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）

难度：中等

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6．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中有许多结论：▱ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AD 与B′C交于E，连结B′D，则△A B′C与▱ABCD重叠部分的图形（△AEC）是等腰三角形．请利用图1证明这个结论．

【应用与探究】
（1）如图1，已知∠B=30°，若AB=
3
，∠AB′D=75°，则∠ACB= °；
（2）如图2，已知∠B=30°，AB=2
3
，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积．

难度：中等

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7．如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．
下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞
2
AD．
（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC边BC所在直线上时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．
创新应用：
（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

难度：中等

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8．如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；
（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；
（3）在（2）的条件下连EF，若△DEF的面积为y，BE=x，求y与x的关系式．

难度：中等

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9．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．
（1）如图1，若AD=3，AB=BC=5，求ED的长；
（2）如图2，若∠ABC=45°，求证：CE+EF=
2
ED；
（3）如图3，若∠ABC=45°，现将△ADC沿AC边翻折得到△AGC，连接EG、DG．猜想线段AE、DG、BE之间的数量关系，写出关系式，并证明你的结论．

难度：较难

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10．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一个等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放．该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图①中请你通过观察，测量BF与CG的长度，猜想BF与CG满足的数量关系是．
（2）当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交直线BC于点D，过点D作DE丄BA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度关系，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移（点F在射线AC上，且点F与点A、点C不重合）时，直接写出DE、DF与CG之间满足的数量关系，不用说明理由．

难度：中等

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