知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•长春模拟）如图，在矩形ABCD中，BC=1，将矩形ABCD绕点D逆时针旋转45°，得到矩形A′B′C′D′，点B′恰好落在BC的延长线上，边A′B′交边CD于点E．
（1）求证：B′C=BC．
（2）保持矩形A′B′C′D′不动，将矩形ABCD沿射线BB′方向以每秒1个单位的速度平移，设平移时间为t秒．
①当矩形ABCD与矩形A′B′C′D′重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积为S与t之间的函数关系式．
②点A′关于AB的对称点记作点F，直接写出直线DF与矩形A′B′C′D′的边平行时t的值．

难度：中等

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2．如图，△ABC与△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°，得BF，连接AD，BD，AF
（1）如图①，D、E分别在AC，BC边上，求证：四边形ADBF为平行四边形；
（2）△DEC绕点C逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由．
（3）在图①中，将△DEC绕点C逆时针旋转一周，其它条件不变，问：旋转角为多少度时．四边形ADBF为菱形？直接写出旋转角的度数．

难度：较难

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3．（1）问题背景：
如图（1），在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°，探索EF，BE，FD的数量关系，王岩和张放两位同学探索的思路虽然不尽相同，但都得出了正确的结论．
     王岩是这样想的：把△ABE绕着点A逆时针旋转到使AB与AD重合，得△ADG，并确定点F，D，G在一条直线上，再证明△AEF≌AGF…
     张放是这样想的：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF…
他们得出的结论是    ．
（2）探索延伸：
如图（2），若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
1
2
∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
（3）实际应用：
如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线BM的方向（∠OBF=120°），以14海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东80°，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由．

难度：中等

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4．如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（A→B方向）平移（点A，D₁，D₂，B始终在同一直线上），当D₁与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示位置时，猜想D₁E与D₂F的数量关系，并说明理由．
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重复部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x，使得重复部分面积等于原△ABC纸片面积的
3
8
？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图1，在等腰直角△ABC和等腰直角△CDE中，∠ABC，∠CDE是直角，连接BD，点F在AE上且∠FBD=45°，AB=2，CD=1．
（1）求证：AF=FE；
（2）若将等腰直角CDE绕点C旋转一个a（0°＜a≤90°）角，其它条件不变，如图2，求
AF
FE
的值；
（3）在（2）的条件下，再将等腰直角△CDE沿直线BC右移k个单位，其它条件不变，如图3，试求
AF
FE
的值（用含k的代数式表示）

难度：中等

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6．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动．连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的AC边上时，求t的值；
（2）在移动的过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）在移动的过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．如图①，在矩形ABCD中，AD=6，∠BDC=30°，将△BCD绕点B逆作时针方向旋转得到△BC₀D₀，其中点C，D的对应点分别是点C₀，D₀，且点D₀刚好落在CB的延长线上，直线D₀C₀与AB相交于点E；

（1）求旋转角α的度数；
（2）求△EBD₀的面积；
（3）如图②，将△BC₀D₀以每秒1个单位长度的速度向右平行移动，得到△B₁C₁D₁，其中点B，C₀，D₀的对应点分别是点B₁C₁D₁，当点C₁到达边CD上时停止运动，设移动的时间为t秒，△B₁C₁D₁与矩形ABCD重叠部分的面积为S（图中阴影部分），请直接写出S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）如题③，在（3）的△B₁C₁D₁平移过程中，直线D₁C₁与线段AB相交于N，直线B₁C₁与线段BD相交于M，是否存在某一时刻t，使△MNC为等腰三角形，若存在，求出时间t，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥CD，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转90°后得到线段OE′，已知OE=12，sin∠BAC=
12
13
．
（1）求AC的长；
（2）当F为射线ED上任意一点（点F不与点E重合）时，连接OF，将线段OF绕点O逆时针旋转90°得到线段OF′．试判断直线E′F′与直线CD的位置关系，并加以证明；
（3）在（2）的条件下，设EF=x，S_△AEF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

难度：较难

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9．观察思考
有一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形，如图1所示，将纸片△AC₂D₂沿D₂B的方向平移（点A，D₂，D₁，B始终在同一条直线上），当点D₂与点B重合时，停止平移．
解决问题
在平移过程中（如图2所示），设C₂D₂与BC₂交于点E，与C₂D₂交于点F，试判断四边形FD₂D₁E可能是菱形吗？请求出平移的距离；如果不可能，请说明理由；
拓展延伸
现又有一张平行四边形纸片ABCD，AB=10cm，AD=6cm，BD=8cm，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB₁D₁和△AB₂D₂两个三角形，如图3所示，将△AB₂D₂沿AB₁方向平移，在平移过程中点B₂始终在AB₁上，AB₁与CD₂始终保持平行，当点A于点B₂重合时，停止平移，在平移过程中（如图4所示），AD₁与B₂D₂交于点E，B₂C与B₁D₁交于点F，四边形B₂FD₂E是什么四边形？判断并说明理由．
迁移应用
在图4中，四边形B₂FD₂E的面积有可能是13cm²吗？判断并说明理由．

难度：较难

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10．在图（1）中画出三条线段，长度分别为：
2
，
5
，
13
．
（1）在图（2）中把△ABC绕着点A顺时针旋转270°，变成△AB₁C₁，求：①B，B₁两点之间的距离；②B到B₁所经过的路程．
（2）图（3）是由五个边长为1的正方形组成的，请剪两刀再拼成正方形，画出分割线，及拼成正方形．

难度：中等

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