知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．

难度：中等

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2．（2015秋•下城区期中）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）OA：OB= ；
（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为．

难度：较难

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3．正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．下图1中的正方形网格中△ABC是格点三角形，小正方形网格的边长为1（单位长度）．
（1）△ABC的面积是（平方单位）；
（2）在图2所示的正方形网格中作出格点△A′B′C′和△A″B″C″，使△A′B′C′∽△ABC，△A″B″C″∽△ABC，且AB、A′B′、A″B″中任意两条线段的长度都不相等；
（3）在所有与△ABC相似的格点三角形中，是否存在面积为3（平方单位）的格点三角形？如果存在，请在图3中作出，如果不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=
k
x
的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=
10
，tan∠AOC=
1
3
，点B的坐标为（m，-2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

难度：较难

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