知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

如图，已知\(ED/\!/BC\)，点\(A\)在\(ED\)上，点\(C\)在\(DF\)上，\(∠EAB=∠BCF\)，且\(E\)、\(B\)、\(F\)、\(O\)四点共线．

\((1)\)四边形\(ABCD\)为平行四边形；

\((2)\)已知\(OF=3\)，\(OE=12\)，求\(OB\)的值．

难度：较易

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2．

已知正方形\(ABCD\)，\(P\)为射线\(AB\)上的一点，以\(BP\)为边作正方形\(BPEF\)，使点\(F\)在线段\(CB\)的延长线上，连接\(EA\)，\(EC\)．

\((1)\)如图\(1\)，若点\(P\)在线段\(AB\)的延长线上，求证：\(ΔAPE\)≌\(ΔCFE\)；

\((2)\)如图\(2\)，若点\(P\)在线段\(AB\)的中点，连接\(AC\)，判断\(\triangle ACE\)的形状，并说明理由；

\((3)\)如图\(3\)，若点\(P\)在线段\(AB\)上，连接\(AC\)，当\(EP\)平分\(∠AEC\)时，设\(AB=a\)，\(BP=b\)，\(①\)求\(a\)：\(b\)的值；\(②\)求\(∠AEC\)的度数．

难度：较难

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3．
已知：线段\(OA⊥OB\)，点\(C\)为\(OB\)中点，\(D\)为线段\(OA\)上一点\(.\)连接\(AC\)，\(BD\)交于点\(P\)．
\((1)\)如图\(1\)，当\(OA=OB\)，且\(D\)为\(OA\)中点时，求\( \dfrac {AP}{PC}\)的值；
\((2)\)如图\(2\)，当\(OA=OB\)，且\( \dfrac {AD}{AO}= \dfrac {1}{4}\)时，求\(\tan ∠BPC\)的值．
\((3)\)如图\(3\)，当\(AD\)：\(AO\)：\(OB=1\)：\(n\)：\(2 \sqrt {n}\)时，直接写出\(\tan ∠BPC\)的值．

难度：较难

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4．
【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
\((1)\)如图\(1\)，在\(\triangle ABC\)中，点\(D\)、\(F\)在\(AB\)上，\(E\)、\(G\)在\(AC\)上，\(DE/\!/FC/\!/BC.\)若\(AD=2\)，\(AE=1\)，\(DF=6\)，则\(EG=\) ______ ，\( \dfrac {FB}{GC}=\) ______ ．
\((2)\)如图\(2\)，在\(\triangle ABC\) 中，点\(D\)、\(F\)在\(AB\)上，\(E\)、\(G\)在\(AC\)上，且\(DE/\!/BC/\!/FG.\)以\(AD\)、\(DF\)、\(FB\)为边构造\(\triangle ADM(\)即\(AM=BF\)，\(MD=DF)\)；以\(AE\)、\(EG\)、\(GC\)为边构造\(\triangle AEN(\)即\(AN=GC\)，\(NE=EG)\)．
求证：\(∠M=∠N\)．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
\((3)\)如图\(3\)，已知\(\triangle ABC\)和线段\(a\)，请用直尺与圆规作\(\triangle A′B′C′\)．
满足：\(①\triangle A′B′C′\)∽\(\triangle ABC\)；\(②\triangle A′B′C′\)的周长等于线段\(a\)的长度\(.(\)保留作图痕迹，并写出作图步骤\()\)

难度：中等

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5．

在平面直角坐标系中，抛物线\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)经过点\(A(x_{1},y_{1})\)，\(C(x_{2},y_{2})\)，其中\(x_{1}\)，\(x_{2}\)是方程\(x^{2}-2x-8=0\)的两根，且\(x_{1} < x_{2}.\)过点\(A\)的直线\(l\)与抛物线只有一个公共点．

\((1)\)求\(A\)，\(C\)两点的坐标；

\((2)\)求直线\(l\)的解析式；

\((3)\)如下图，点\(B\)是线段\(AC\)上的动点，若过点\(B\)作\(y\)轴的平行线\(BE\)与直线\(l\)相交于点\(E\)，与抛物线相交于点\(D\)，过点\(E\)作\(DC\)的平行线\(EF\)与直线\(AC\)相交于点\(F\)，求\(BF\)的长．

难度：较难

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6．

如图，已知\(AD\)是\(\triangle ABC\)的角平分线，求证：\( \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC} .(\)提示：过\(C\)点作\(CE/\!/AD\)交\(BA\)的延长线于\(E)\)

难度：较难

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7．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=BC=2\)，点\(D\)，\(E\)分别在边\(BC\)，\(AB\)上，连接\(AD\)，\(ED\)，且\(∠BDE=∠ADC.\)过\(E\)作\(EF⊥AD\)交边\(AC\)于点\(F\)，连接\(DF\)．

\((1)\)求证：\(∠AEF=∠BED\)；

\((2)\)过\(A\)作\(AG/\!/ED\)交\(BC\)的延长线于点\(G\)，设\(CD=x\)，\(CF=y\)，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；

\((3)\)当\(\triangle DEF\)是以\(DE\)为腰的等腰三角形时，求\(CD\)的长．

难度：难

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8．

如图，在矩形\(ABCD\)中，对角线\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，点\(E\)是\(BC\)上的一个动点，连接\(DE\)，交\(AC\)于点\(F\)．

\((1)\)如图\(①\)，当\( \dfrac{CE}{EB} = \dfrac{1}{3} \)时，求\( \dfrac{{S}_{\triangle CEF}}{{S}_{\triangle CDF}} \)的值；

\((2)\)如图\(②\)，当\( \dfrac{CE}{EB} = \dfrac{1}{m} \)时，求\(AF\)与\(OA\)的比值\((\)用含\(m\)的代数式表示\()\)；

\((3)\)如图\(③\)，当\( \dfrac{CE}{EB} = \dfrac{1}{m} \)时，过点\(F\)作\(FG⊥BC\)于点\(G\)，探索\(EG\)与\(BG\)的数量关系\((\)用含\(m\)的代数式表示\()\)，并说明理由．

难度：难

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9．已知：如图，在梯形\(ABCD\)中，\(AD/\!/MN/\!/BC.MN\)分别交边\(AB\)、\(DC\)于点\(M\)、\(N.\)如果\(AM\)：\(MB=2\)：\(3\)，\(AD=2\)，\(BC=7.\)求\(MN\)的长．

难度：难

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10．已知\(\triangle ABC\)是等腰三角形，\(AB=AC\)．

\((1)\)如图\(1\)，当\(DE/\!/BC\)时，有\(DB \)______\( EC.(\)填“\( > \)”，“\( < \)”或“\(=\)”\()\)
\((2)\)若将图\(1\)中的\(\triangle ADE\)绕点\(A\)顺时针旋转\(α(0^{\circ} < α < 180^{\circ})\)到图\(2\)位置，则\((1)\)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
\((3)(\)可利用旋转知识\()\)如图\(3\)，\(P\)是等腰直角三角形\(ABC\)内一点，\(∠ACB=90^{\circ}\)，且\(PB=1\)，\(PC=2\)，\(PA=3\)，求\(∠BPC\)的度数．

难度：较难

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