知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读材料：
将等式 $%20%5Csqrt%20%7B5%5E%7B2%7D%7D$ =5反过来，可得到5= $%20%5Csqrt%20%7B5%5E%7B2%7D%7D$ ．根据这个思路，我们可以把根号外的因式“移入”根号内，用于根式的化简．例如：5 $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B5%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B5%5E%7B2%7D%C3%97%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B5%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ．
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）3 $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%7D$
（2）7 $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B7%7D%7D$
（3）8 $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B32%7D%7D$ ．

难度：易

解析收藏试题篮
2．观察下列等式：
第1个等式：a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ -1；第2个等式：a₂= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ - $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；
第3个等式：a₃= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B2%7D$ =2- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ；第4个等式：a₄= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ -2；
…
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a_n= ______ ；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

难度：较易

解析收藏试题篮
3．实践与探索
（1）填空： $%20%5Csqrt%20%7B3%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ； $%20%5Csqrt%20%7B%28-5%29%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时 $%20%5Csqrt%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ；当a＜0时， $%20%5Csqrt%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ；
（3）利用你总结的规律计算： $%20%5Csqrt%20%7B%28x-2%29%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B%28x-3%29%5E%7B2%7D%7D$ ，其中2＜x＜3．

难度：较易

解析收藏试题篮
4．计算： $%7C-2%7C-%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B16%7D%7D%2B%28-2%29%5E%7B-2%7D-%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D-2%29%5E%7B0%7D$

难度：较易

解析收藏试题篮
5．已知方程x²-2ax+a²+a-1=0没有实数根，化简： $%20%5Csqrt%20%7Ba%5E%7B2%7D-2a%2B1%7D%2B%7C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D-a%7C$ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
6． $%20%5Csqrt%20%7B4%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ， $%20%5Csqrt%20%7B0.8%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ， $%20%5Csqrt%20%7B0%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ， $%20%5Csqrt%20%7B%28-3%29%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ， $%20%5Csqrt%20%7B%28-%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = ______ ，
（1）根据计算结果，回答： $%20%5Csqrt%20%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你把得到规律描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算： $%20%5Csqrt%20%7B%28%CF%80-3.15%29%5E%7B2%7D%7D$ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
7．阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如： $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D$ ， $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ 一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简：
$%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B3%C3%97%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%5Ctimes%20%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B3%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ：（一） $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%C3%973%7D%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%C3%973%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ ：（二）
$%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%29%7D%7B%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%29%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%29%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B2%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%29%7D%7B%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D-1%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1$ ：（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ 还可以用以下方法化简：
$%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B3-1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D-1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%29%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%29%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1$ ．（四）
请解答下列问题：
（1）请用不同的方法化简 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ ．
①参照（三）式得 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ = ______ ；
②参照（四）式得 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ = ______ ；
（2）化简： $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D$ ；（保留过程）
（3）猜想： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B7%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2n%2B1%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B2x-1%7D%7D$ 的值．（直接写出结论）

难度：难

解析收藏试题篮
8．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，形如 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%7D$ 一样的式子，我们可以将其进一步化简： $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%C3%97%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%29%7D%7B%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D-1%29%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%29%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1%29%7D%7B3-1%7D%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D%2B1$
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）请用上述的方法化简 $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ ；
（2）化简： $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B2%2B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B8%7D%7D%2B$ … $%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2n%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B2n%2B2%7D%7D$ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
9．探索猜想题：
先我们已经知道：（ $%20%5Csqrt%20%7B19%7D$ +4）（ $%20%5Csqrt%20%7B19%7D$ -4）=3，因此将 $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B19%7D-4%7D$ 分子、分母同时乘以“ $%20%5Csqrt%20%7B19%7D$ +4”，分母就变成了3．请同学们仿照这种方法化简、计算下面各题：
① $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$
② $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B1-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ ．

难度：易

解析收藏试题篮
10．如图，5×5网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD的顶点A、B、C、D均在格点上，求四边形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）．

难度：较易

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷