知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
观察下列等式：
\(① \dfrac {1}{ \sqrt {2}+1}= \dfrac { \sqrt {2}-1}{( \sqrt {2}+1)( \sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1\)；
\(② \dfrac {1}{ \sqrt {3}+ \sqrt {2}}= \dfrac { \sqrt {3}- \sqrt {2}}{( \sqrt {3}+ \sqrt {2})( \sqrt {3}- \sqrt {2})}= \sqrt {3}- \sqrt {2}\)；
\(③ \dfrac {1}{ \sqrt {4}+ \sqrt {3}}= \dfrac { \sqrt {4}- \sqrt {3}}{( \sqrt {4}+ \sqrt {3})( \sqrt {4}- \sqrt {3})}= \sqrt {4}- \sqrt {3}\)；
\(…\)
回答下列问题：
\((1)\)仿照上列等式，写出第\(n\)个等式： ______ ；
\((2)\)利用你观察到的规律，化简：\( \dfrac {1}{2 \sqrt {3}+ \sqrt {11}}\)；
\((3)\)计算：\( \dfrac {1}{1+ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}+ \sqrt {3}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}+2}+…+ \dfrac {1}{3+ \sqrt {10}}\)．

难度：中等

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2．
你见过像\( \sqrt {4-2 \sqrt {3}}\)，\( \sqrt { \sqrt {48}- \sqrt {45}}…\)这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式\(.\)有一些复合二次根式可以化简，如：\( \sqrt {4-2 \sqrt {3}}= \sqrt {3-2 \sqrt {3}+1}= \sqrt {( \sqrt {3})^{2}-2 \sqrt {3}+1^{2}}= \sqrt {( \sqrt {3}-1)^{2}}= \sqrt {3}-1\)，
请用上述方法化简：\( \sqrt {5-2 \sqrt {6}}\)

难度：较难

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3．
先化简，再求值：\(( \dfrac {2}{a+1}- \dfrac {1}{a})÷ \dfrac {a^{2}b-b}{a^{2}+2a+1}\)，其中\(a= \sqrt {2}+1\)，\(b= \sqrt {2}-1\)．

难度：易

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4．
先化简，再求值：\( \dfrac {a^{2}-2ab+b^{2}}{2a-2b}÷( \dfrac {1}{b}- \dfrac {1}{a})\)，其中\(a= \sqrt {5}+1\)，\(b= \sqrt {5}-1\)．

难度：易

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5．
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)在数轴上如图，化简\( \sqrt {a^{2}}-|a+b|+ \sqrt {(c-a)^{2}}+|b+c|\)．

难度：易

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6．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)在数轴上的位置如图所示\(.\)请化简：\( \sqrt {a^{2}}-|a+b|+ \sqrt {(c-a)^{2}}\)．

难度：较易

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7．
先化简，再求值：\(a(a+2b)-(a+1)^{2}+2a\)，其中\(a= \sqrt {2}+1,b= \sqrt {2}-1\)．

难度：较易

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8．
先化简，再求值：\((2x+y)^{2}+(x-y)(x+y)-5x(x-y)\)，其中\(x= \sqrt {3}+1\)，\(y= \sqrt {3}-1\)．

难度：易

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9．
实践与探索
\((1)\)填空：\( \sqrt {3^{2}}=\) ______ ；\( \sqrt {(-5)^{2}}=\) ______ ；
\((2)\)观察第\((1)\)的结果填空：当\(a\geqslant 0\)时\( \sqrt {a^{2}}=\) ______ ；当\(a < 0\)时，\( \sqrt {a^{2}}=\) ______ ；
\((3)\)利用你总结的规律计算：\( \sqrt {(x-2)^{2}}+ \sqrt {(x-3)^{2}}\)，其中\(2 < x < 3\)．

难度：较易

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10．
计算：\(2\tan 60^{\circ}- \dfrac {2}{1+ \sqrt {3}}+(2-π)^{0}-( \dfrac {1}{3})^{-1}\)．

难度：较易

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