知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
观察下列各式及验证过程：
\( \sqrt { \dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{3}}= \dfrac {1}{2} \sqrt { \dfrac {2}{3}}\)，验证\( \sqrt { \dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{3}}= \sqrt { \dfrac {1}{2\times 3}}= \sqrt { \dfrac {2}{2^{2}\times 3}}= \dfrac {1}{2} \sqrt { \dfrac {2}{3}}\)；
\( \sqrt { \dfrac {1}{2}( \dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{4})}= \dfrac {1}{3} \sqrt { \dfrac {3}{8}}\)，验证\( \sqrt { \dfrac {1}{2}( \dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{4})}= \sqrt { \dfrac {1}{2\times 3\times 4}}= \sqrt { \dfrac {3}{2\times 3^{2}\times 4}}= \dfrac {1}{3} \sqrt { \dfrac {3}{8}}\)；
\( \sqrt { \dfrac {1}{3}( \dfrac {1}{4}- \dfrac {1}{5})}= \dfrac {1}{4} \sqrt { \dfrac {4}{15}}\)，验证\( \sqrt { \dfrac {1}{3}( \dfrac {1}{4}- \dfrac {1}{5})}= \sqrt { \dfrac {1}{3\times 4\times 5}}= \sqrt { \dfrac {4}{3\times 4^{2}\times 5}}= \dfrac {1}{4} \sqrt { \dfrac {4}{15}}…\)
\((1)\)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想\( \sqrt { \dfrac {1}{4}( \dfrac {1}{5}- \dfrac {1}{6})}\)的变形结果并进行验证．
\((2)\)针对上述各式反映的规律，写出用\(n(n\)为自然数，且\(n\geqslant 1)\)表示的等式，不需要证明．

难度：较易

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2．
\((I)\) 观察下列各式的特点：
\( \sqrt {2}-1 > \sqrt {3}- \sqrt {2}\)
\( \sqrt {3}- \sqrt {2} > 2- \sqrt {3}\)
\(2- \sqrt {3} > \sqrt {5}-2\)
\( \sqrt {5}-2 > \sqrt {6}- \sqrt {5}\)
\(…\)
根据以上规律可知：\( \sqrt {2017}- \sqrt {2016}\) ______ \( \sqrt {2018}- \sqrt {2017}(\)填“\( > \)”“\( < \)”或“\(=\)”\()\)．
\((2)\)观察下列式子的化简过程：
\(\left.\begin{matrix}\dfrac {1}{ \sqrt {2}+1}= \dfrac { \sqrt {2}-1}{( \sqrt {2}+1)( \sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1, \\ \dfrac {1}{ \sqrt {3}+ \sqrt {2}}= \dfrac { \sqrt {3}- \sqrt {2}}{( \sqrt {3}+ \sqrt {2})( \sqrt {3}- \sqrt {2})}= \sqrt {3}- \sqrt {2}, \\ \dfrac {1}{ \sqrt {4}+ \sqrt {3}}= \dfrac { \sqrt {4}- \sqrt {3}}{( \sqrt {4}+ \sqrt {3})( \sqrt {4}- \sqrt {3})}= \sqrt {4}- \sqrt {3,}\end{matrix}\right.\)
\(…\)
根据观察，请写出式子\( \dfrac {1}{ \sqrt {n}+ \sqrt {n-1}}(n\geqslant 2)\)的化简过程．
\((3)\)根据上面\((1)(2)\)得出的规律计算下面的算式：\(| \dfrac {1}{ \sqrt {2}+1}- \dfrac {1}{ \sqrt {3}+ \sqrt {2}}|+| \dfrac {1}{ \sqrt {3}+ \sqrt {2}}- \dfrac {1}{ \sqrt {4}+ \sqrt {3}}|+| \dfrac {1}{ \sqrt {4}+ \sqrt {3}}- \dfrac {1}{ \sqrt {5}+ \sqrt {4}}|+…+| \dfrac {1}{ \sqrt {100}+ \sqrt {99}}- \dfrac {1}{ \sqrt {101}+ \sqrt {100}}|\)．

难度：较易

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3．
已知方程\(x^{2}-2ax+a^{2}+a-1=0\)没有实数根，化简：\( \sqrt {a^{2}-2a+1}+| \dfrac {1}{2}-a|\)．

难度：较易

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4．
观察，猜想，证明．
观察下列的等式
\(①2 \sqrt { \dfrac {2}{3}}= \sqrt {2+ \dfrac {2}{3}}\)；\(②3 \sqrt { \dfrac {3}{8}}= \sqrt {3+ \dfrac {3}{8}}\)；\(③4 \sqrt { \dfrac {4}{15}}═ \sqrt {4+ \dfrac {4}{15}}…\)
\((1)\)发现上述\(3\)个等式的规律，猜想第\(5\)个等式并进行验证；
\((2)\)写出含字母\(n(n\)为任意自然数，且\(n\geqslant 2)\)表示的等式，并写出证明过程．

难度：较易

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5．
【知识链接】
\((1)\)有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式\(.\)例如：\( \sqrt {2}\)的有理化因式是\( \sqrt {2}\)；\(1- \sqrt {x^{2}+2}\)的有理化因式是\(1+ \sqrt {x^{2}+2}\)．
\((2)\)分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的．
【知识运用】
\((1)\)填空：\(2 \sqrt {x}\)的有理化因式是 ______ ；\(a+ \sqrt {b}\)的有理化因式是 ______ ；\(- \sqrt {m-1}- \sqrt {m+1}\)的有理化因式是 ______ ．
\((2)\)把下列各式的分母有理化：
\(① \dfrac {1}{x+ \sqrt {y}}\)；\(② \dfrac { \sqrt {6}+ \sqrt {2}}{ \sqrt {2}- \sqrt {6}}\)．

难度：较难

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6．
阅读材料：
将等式\( \sqrt {5^{2}}=5\)反过来，可得到\(5= \sqrt {5^{2}}.\)根据这个思路，我们可以把根号外的因式“移入”根号内，用于根式的化简\(.\)例如：\(5 \sqrt { \dfrac {2}{5}}= \sqrt {5^{2}× \dfrac {2}{5}}= \sqrt {10}\)．
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
\((1)3 \sqrt { \dfrac {1}{3}}\)
\((2)7 \sqrt { \dfrac {5}{7}}\)
\((3)8 \sqrt { \dfrac {3}{32}}\)．

难度：较易

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7．
实数\(a\)、\(b\)、\(c\)在数轴上的位置如图所示，化简\( \sqrt {(a-b)^{2}}- \sqrt {4c^{2}}-|a+c|\)

难度：中等

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8．
已知\(a\)，\(b\)在数轴上位置如图，化简\( \sqrt {(a+b)^{2}}+ \sqrt {(a-b)^{2}}- \sqrt {a^{2}}\)．

难度：较易

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9．
小明在解决问题：已知\(a= \dfrac {1}{2+ \sqrt {3}}\)，求\(2a^{2}-8a+1\)的值，他是这样分析与解答的：
\(∵a= \dfrac {1}{2+ \sqrt {3}}= \dfrac {2- \sqrt {3}}{(2+ \sqrt {3})(2- \sqrt {3})}=2- \sqrt {3}\)，
\(∴a-2=- \sqrt {3}\)，
\(∴(a-2)^{2}=3\)，\(a^{2}-4a+4=3\)
\(∴a^{2}-4a=-1\)．
\(∴2a^{2}-8a+1=2(a^{2}-4a)+1=2(-1)+1=-1\)．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若\(a= \dfrac {1}{ \sqrt {2}-1}\)，求\(4a^{2}-8a-3\)的值．

难度：较难

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10．
如果最简二次根式\( \sqrt {3a-8}\)与\( \sqrt {17-2a}\)是同类二次根式，那么要使式子\( \sqrt {4a-2x}+ \sqrt {x-a}\)有意义，\(x\)的取值范围是什么？

难度：难

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