知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a_i和b_i，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

难度：中等

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2．已知ax³=by³=cz³，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1．
求证：
3 ax2+by2+cz2
=
3 a
+
3 b
+
3 c
．

难度：中等

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3．证明以下各式：
（1）
a2
(a-b)(a-c)
+
b2
(b-c)(b-a)
+
c2
(c-a)(c-b)
=1；
（2）
n2
m2
+
m2
n2
+2
n3
m3
-
m3
n3
-3(
n
m
-
m
n
)
÷
n
m
+
m
n
n2
m2
-2+
m2
n2
=
n2+m2
n2-m2

难度：中等

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4．已知：1989x²=1991y²=1993z²，x＞0，y＞0，z＞0，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1．
求证：
1989x+1991y+1993z
=
1989
+
1991
+
1993
．

难度：中等

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5．若x+y=a+b，且x²+y²=a²+b²，求证：x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．

难度：较难

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6．求证：
a2-bc
(a+b)(a+c)
+
b2-ca
(b+c)(b+a)
=
ab-c2
(c+a)(c+b)

难度：较易

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7．若x+y=m+n，且x²+y²=m²+n²．求证：x²⁰⁰¹+y²⁰⁰¹=m²⁰⁰¹+n²⁰⁰¹．

难度：中等

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8．证明以下各式：
（1）若abc=1，则
1
ab+a+1
+
1
bc+b+1
+
1
ac+c+1
=1
（2）若a+b+c=0，则
1
a2+b2-c2
+
1
b2+c2-a2
+
1
c2+a2-b2
=0
（3）已知：
x
a
+
y
b
+
z
c
=1且
a
x
+
b
y
+
c
z
=0，求证：
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
（4）若：x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by．求证：
a
1+a
+
b
1+b
+
c
1+c
=1．

难度：中等

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9．若
x
y+z+t
=
y
z+t+x
=
z
t+x+y
=
t
x+y+z
，记A=
x+y
z+t
+
y+z
t+x
+
z+t
x+y
+
t+x
y+z
，证明：A是一个整数．

难度：中等

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10．命题（*）：设a，b，c是非负实数，如果a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），则a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca）
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．

难度：中等

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年份：

3	ax2+by2+cz2