知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•杭州模拟）我们规定：函数y=
ax+k
x+b
（a、b、k是常数，k≠ab）叫广义反比例函数．当a=b=0时，广义反比例函数y=
ax+k
x+b
就是反比例函数y=
k
x
（k是常数，k≠0）．
（1）如果某一矩形两边长分别是2和3，当它们分别增加x和y后，得到新矩形的面积为8．求y与x之间的函数表达式，并判断它是否为广义反比例函数；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C坐标分别为（6，0）、（0，3），点D是OA中点，连接OB、CD交于E，若广义反比例函数y=
ax+k
x-4
的图象经过点B、E，求该广义反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过线段BE中点M的一条直线l与这个广义反比例函数图象交于P，Q两点（P在Q右侧），如果以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标．

难度：中等

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2．（2016•新华区校级模拟）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=
m
x
的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P的坐标，使PA+PB最小；
（3）直线y=nx与线段AB有交点，直接写出n的取值范围．

难度：中等

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3． M为双曲线y=
3
x
上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于点D、C两点，若直线y=-x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．
（1）求AD•BC的值．
（2）若直线y=-x+m平移后与双曲线y=
3
x
交于P、Q两点，且PQ=3
2
，求平移后m的值．
（3）若点M在第一象限的双曲线上运动，试说明△MPQ的面积是否存在最大值？如果存在，求出最大面积和M的坐标；如果不存在，试说明理由．

难度：较易

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4．阅读理解：如图1，点P，Q是双曲线上不同的两点，过点P，Q分别作PB⊥y轴于B点、QA⊥x轴于A点，两垂线的交点为E点，则有
PE
PB
=
QE
QA
，请利用这一性质解决问题．
问题解决：
（1）如图1，如果QE=6，AQ=3，BP=4．填空：PE= ；
（2）如图2，点A，B是双曲线y=
k
x
上不同的两点，直线AB与x轴、y轴相交于点C，D：
①求证：AC=BD．
②已知：直线AB的关系为y=-x+2，CD=4AB．试求出k的值．

难度：中等

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5．如图所示，A，B是坐标轴正半轴上的两点，过点B作PB⊥y轴交双曲线y=
6
x
（x＞0）于P点，A，B两点的坐标分别为（1，0），（0，3），x轴上的动点M在点A的右侧，动点N在射线BP上，过点A作AB的垂线，交射线BP于D点，交直线MN于Q点，连结BQ，取BQ的中点C，若以A，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标为．

难度：中等

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6．（2016•河南模拟）如图所示，点A坐标为（4，0），矩形OACD的两边AC与CD分别交双曲线y=
4
x
（x＞0）于B，E两点，记
BC
AB
=k，过点C作CP∥BE交x轴于点P．
（1）当k=1时，点B坐标为，点E坐标为，点P坐标为．
（2）当k=2时，点B坐标为，点E坐标为，点P坐标为．
（3）当k值变化时，判断点P的坐标是否发生变化，并说明理由．

难度：较易

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7．如图1，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．

难度：中等

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8．如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=
k1
x
的图象的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=
k2
x
（x＞0）的图象交于点D（n，-2）．
（1）k₁和k₂的值分别是多少？
（2）直线AB，BD分别交x轴于点C，E，若F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE，求点F的坐标．

难度：中等

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9．在直角坐标系xOy中，等边△PQM的顶点P、Q在x轴上，点M在反比例函数y=
k
x
（k＞0）的图象上．
（1）当点P与原点重合，且等边△PQM的边长为2时，求反比例函数的表达式；
（2）当P点坐标为（1，0）时，点M在（1）中的反比例函数图象上，求等边△PQM的边长；
（3）若P点坐标为（t，0），在（1）中的反比例函数图象上，符合题意的正△PQM恰好有三个，求t的值．

难度：中等

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10．（2015•淮安校级模拟）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．   根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=    时，m+
1
m
有最小值    ；
（2）若m＞0，只有当m=    时，2m+
8
m
有最小值    ；
（3）已知直线L₁：y=
1
2
x+1，若点C为双曲线y=-
8
x
上任意一点，作CD∥y轴交直线L₁于点D，求线段CD长的最小值及此时C、D点的坐标．

难度：较难

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