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          共50条信息

            • 1． 如图，点A（0，a ），点B（ b，0 ）且满足a2+2b2-2ab-2b+1=0．经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC⊥CP，与直线BP相交于点P，BP⊥OB．现将直线l绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但P点必须在第一象限内，分析此图后，对下列问题作出探究：
              （1）求点A、B的坐标；
              （2）探索线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论；
              （3）过C作CD⊥OB于点D，试判断CD与OB+PB间的数量关系，并说明理由；
              （4）设点P的坐标为（b，c），请直接写出当△PBC为等腰三角形时c= ______ ．
              难度：中等
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            • 2． 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴正半轴上，点B在 x轴负半轴上，且AO=OB=m，OC=n，满足m2-12m+36+（n-4）2=0．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正半轴运动，设点P的运动时间为t秒．求：
              （1）填空m= ______ ，n= ______ ；
              （2）在点P的运动过程中，过点B作直线AP的垂线，交y轴于F，设△PCF的面积为S，请用含t的式子表示出S，并直接写出t的取值范围；
              （3）在点P的运动过程中，过点A作直线l，且l∥x轴，直线l上是否存在点Q，使△CPQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的t值，若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 3． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
              （1）请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
              （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并直接写出x所有可能的值；
              （3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
              难度：中等
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            • 4． 【新知理解】
              如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
              作法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求．
              【解决问题】
              如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，则PC+PE的最小值为 ______ cm；
              【拓展研究】
              如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）
              难度：中等
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            • 5． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B（m，0）是x轴上一点，m＞0，C在第一象限，且BC⊥AB，BC=AB，连接AC．
              （1）当∠CAO=105° 时，△ABC的面积为 ______ ；
              （2）求C的坐标；（用含m的式子表示）
              （3）作∠CAB的平分线AD，M在射线AD上，N在边AC上，且CM+MN的值最小，试确定M、N的位置，并求出当m=3时，CM+MN的最小值．
              难度：中等
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            • 6． 现有一副直角三角板（角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置，其中一块三角板的直角边AC垂直于数轴，AC的中点过数轴的原点O，AC=8，斜边AB交数轴于点G，点G对应数轴上的数是4；另一块三角板的直角边AE交数轴于点F，斜边AD交数轴于点H．
              （1）如果△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，则点F对应数轴上的数是 ______ ，点H对应数轴上的数是 ______ ；
              （2）如图（2），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，若∠HAO=α，试用α来表示∠M的大小；
              （3）如图（2），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，设∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，求∠N+∠M的值．
              难度：中等
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            • 7． 问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
              （1）特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
              （2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
              （3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少？
              难度：中等
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            • 8． 已知如图（1）△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
              ①图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？（不证明）
              ②若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在请给出证明．
              ③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？
              难度：中等
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            • 9． 如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，点D是AC的中点，点P为AB边上的动点（P不与A重合），AP=t（t＞0），PH⊥AC于点H，则PH=t，连结DP并延长至点E，使得PE=PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH
              （1）用t的代数式表示DH的长；
              （2）求证：DF∥AB；
              （3）若△DFH为等腰三角形，求t（0＜t≤5）的值．（提示：以∠A为较小锐角的直角三角形的三边比为3：4：5）
              难度：中等
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            • 10． （一）知识拓展
              如图Ⅰ，AB∥CD，点E，F在AB上，点M，N在CD上，则S△MNE=S△MNF．即同底（或等底）等高（或同高）的三角形的面积相等．
              （二）解决问题．
              数学兴趣小组的同学利用含30°的角的三个全等直角三角板拼了下面的图形（如图Ⅱ）．
              已知∠ACB=∠AFE=∠DCF=90°，∠CAB=∠AEF=∠CDF=30°，点F在AB上．
              （1）直接写出图中存在旋转关系的一对三角形；
              （2）连接AD，判断四边形ADFE的形状，并写出理由．
              （3）若点G是边DF上任意一点，连接GB，GC，设△CAF的面积为S1，△CBG的面积为S2，写出S1与S2间的数量关系，并证明你的结论．
              难度：中等
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