知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

计算：

\((1)-{{1}^{2018}}{-}\left| {-}3 \right|+{{\left( \pi -3 \right)}^{0}}+{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{-2}}\) \((2)\left( a+3b-2c \right)\left( a-3b+2c \right)\)

难度：较难

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2．

\((1)\)已知\(x= \dfrac{ \sqrt{5}-1}{2}\)，\(y= \dfrac{ \sqrt{5}+1}{2}\)，求\( \dfrac{y}{x}+ \dfrac{x}{y}\)的值；

\((2)\)已知\(x\)，\(y\)是实数，且\(y < \sqrt{x-2}+ \sqrt{2-x}+ \dfrac{1}{4}\)，化简：\( \sqrt{y^{2}-4y+4}-(x-2+ \sqrt{2})^{2}\)．

难度：较难

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3．定义：两正数\(a\)，\(b\)之间的一种运算，记作\((a,b)\)：若\(a^{c}=b\)，则\((a,b)=c.\)例如：因为\(3\)\({\,\!}^{2}\)\(=9\)，所以\((3,9)=2\)．
\((1)\)根据上述规定，填空：\((5,1)=\) 　　； \((2,\)\(\dfrac{1}{4}\)\()=\) 　　； \((2,4)+(2,8)=(2,\) 　　\().\)
\((2)\)小明在研究这种运算时发现一个现象：\((2\)\({\,\!}^{n}\)，\(3\)\({\,\!}^{n}\)\()=(2\)，\(3)\)．
小明给出了如下的证明：设\((2\)\({\,\!}^{n}\)，\(3\)\({\,\!}^{n}\)\()=x\)，则根据定义，得\((2\)\({\,\!}^{n}\)\()\)\({\,\!}^{x}\)\(=3\)\({\,\!}^{n}\)，即\((2\)\({\,\!}^{x}\)\()\)\({\,\!}^{n}\)\(=3\)\({\,\!}^{n}\)
\({\,\!}\)所以\(2\)\({\,\!}^{x}\)\(=3\)，即\((2,3)=x\)，所以\((2\)\({\,\!}^{n}\)，\(3\)\({\,\!}^{n}\)\()=(2\)，\(3)\)．
请你尝试运用这种方法解决问题：

已知\(a\)、\(m\)、\(n\)均为正数，填空并证明等式：\((a,m)+(a,n)=(a,\)　 \()\)

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4．
计算：\(-{{3}^{2}}+{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{-2}}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)．

难度：较难

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5．
对于实数\(a\)、\(b\)，定义一种新运算“\(⊗ \)”为：\(a⊗b= \dfrac{1}{a-{b}^{2}} (\)等式右边是实数运算\().\)例如：\(1⊗3= \dfrac{1}{1-{3}^{2}}=- \dfrac{1}{8} .\)则方程\(x⊗\left(-2\right)= \dfrac{2}{x-4}-1 \)的解是_________．

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6．

\((1)\)计算：\(-{1}^{2018}+ \sqrt{27}-{\left( \sqrt{3}-1\right)}^{0}+{\left(- \dfrac{1}{2}\right)}^{-2}+2\sin 60^{\circ}-\left|3-2 \sqrt{3}\right| \)

\((2)\) 解不等式组：\(\begin{cases} \dfrac{x+2}{3} < 1 \\ 2\left(1-x\right)⩽5\end{cases} \)把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来．

难度：较难

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7．

\((1)\)计算：\(|-2|+ \sqrt[3]{-8} -(-1)^{2017}\)．

\((2)\)计算：\((\)_{\( \dfrac{5}{13} \)}\()^{2004}×(-2\)_{\( \dfrac{3}{5} \)}\()^{2005}\)．
\((3)(-2 \)\(a\)\({\,\!}^{2})(3\) \(ab\)\({\,\!}^{2}-5\) \(ab\)\({\,\!}^{3})\)；

\((4)\)求式中的 \(x\)的值： \(( \)\(x\)\(-1)^{2}=12\)．
\((5)(5 \)\(x\)\(+2\) \(y\)\()⋅(3\) \(x\)\(-2\) \(y\)\()\)

\((6) (3a-1)(3a+2)-(-3a)^{2}\)

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8．计算：
\((1)\) \((2)\)

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9．

\((1)\)计算：\(2\cos 30^{\circ}-\sin ^{2}45^{\circ}-\tan 60^{\circ}+(\tan 30^{\circ}+1)^{0}\)

\((2)\)解方程：\({{x}^{2}}-2x=4\)

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10．
\((1)\)计算：\({\left(- \dfrac{1}{3}\right)}^{-1}+{\left(2015- \sqrt{3}\right)}^{0}-4\sin 60^{\circ}+\left|- \sqrt{12}\right| \)

\((2)\)先化简，再求值：\(\left( \dfrac{1}{a+b}- \dfrac{1}{a-b}\right)÷ \dfrac{b}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}} \)

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