如图，四边形\(ABCD\)是正方形，\(M\)是\(BC\)边上的一点，\(E\)是\(CD\)边的中点，\(AE\)平分\(∠DAM\)．

\((1)\)求证\(AM=AD+MC\)；

\((2)\)若\(AD=4\)，求\(AM\)的长．

如图\(1\)，点\(D\)为\(\triangle ABC\)边\(BC\)的延长线上一点．

\((1)\)若\(\angle A:\angle ABC=3:4\)，\(\angle ACD=140{}^\circ \)，求\(\angle A\)的度数；

\((2)\)若\(\angle ABC\)的角平分线与\(\angle ACD\)的角平分线交于点\(M\)，过点\(C\)作\(CP⊥BM\)于点\(P\)．求证：\(\angle MCP=90{}^\circ -\dfrac{1}{2}\angle A\)；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，将\(\triangle MBC\)以直线\(BC\)为对称轴翻折得到\(\triangle NBC\)，\(\angle NBC\)的角平分线与\(\angle NCB\)的角平分线交于点\(Q(\)如图\(2)\)，试探究\(∠BQC\)与\(∠A\)有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．

\((1)\)若\(2⋅4^{m}⋅8^{m}=2^{16}\)，则\(m= \)______ ．

\((2)\)已知\(x+y=10\)，\(xy=16\)，则\(x^{2}y+xy^{2}\)的值为______ ．

\((3)\)因式分解：\(a^{3}-a= \)______ ．

\((4)\)如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠A=40^{\circ}\)，\(D\)点是\(∠ABC\)和\(∠ACB\)角平分线的交点，则\(∠BDC= \)______ ．

\((5)\)已知\(a^{2}-3a+1=0\)，则代数式\((a+1)(a-4)\)的值为______ ．

\((6)\)如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠A=96^{\circ}\)，延长\(BC\)到\(D\)，\(∠ABC\)与\(∠ACD\)的平分线相交于点\({{A}_{1}}\)，则\(∠{{A}_{1}}= \)______ ，若\(∠{{A}_{1}}BC\)与\(∠{{A}_{1}}CD\)的平分线相交于点\({{A}_{2}}\)，则\(∠{{A}_{2}}= \)______ ，\(…\)，以此类推，则\(∠{{A}_{n-1}}BC\)与\(∠{{A}_{n-1}}CD\)的平分线相交于点\({{A}_{n}}\)，则\(∠{{A}_{n}}\)的度数为______ ．

已知点\(P\)为\(∠EAF\)平分线上一点，\(PB⊥AE\)于\(B\)，\(PC⊥AF\)于\(C\)，点\(M\)、\(N\)分别是射线\(AE\)、\(AF\)上的点．

\((1)\)如图\(1\)，当点\(M\)在线段\(AB\)上，点\(N\)在线段\(AC\)的延长线上，且\(PM=PN\)，求证：\(BM=CN\)；

\((2)\)在\((1)\)的条件下，直接写出线段\(AM\)，\(CN\)与\(AC\)之间的数量关系_____；

\((3)\)如图\(2\)，当点\(M\)在线段\(AB\)的延长线上，点\(N\)在线段\(AC\)上时，且\(∠MAN+∠MPN=180^{\circ}\)，若\(AC\)：\(PC=2\)：\(1\)，\(PC=4\)，求四边形\(ANPM\)的面积．