如图，二次函数\(y=0.5x^{2}+bx+c\)的图象过点\(B(0,1)\)和\(C(4,3)\)两点，与\(x\)轴交于点\(D\)、点\(E\)，过点\(B\)和点\(C\)的直线与\(x\)轴交于点\(A\)．

\((1)\)求二次函数的解析式；

\((2)\)在\(x\)轴上有一动点\(P\)，随着点\(P\)的移动，存在点\(P\)使\(\triangle PBC\)是直角三角形，请你求出点\(P\)的坐标；

\((3)\)若动点\(P\)从\(A\)点出发，在\(x\)轴上沿\(x\)轴正方向以每秒\(2\)个单位的速度运动，同时动点\(Q\)也从\(A\)点出发，以每秒\(a\)个单位的速度沿射线\(AC\)运动，是否存在以\(A\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的三角形与\(\triangle ABD\)相似？若存在，直接写出\(a\)的值；若不存在，说明理由．

如图甲，直线\(y{=-}x{+}3\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于点\(B\)、点\(C\)，经过\(B\)、\(C\)两点的抛物线\(y{=}x^{2}{+}bx{+}c\)与\(x\)轴的另一个交点为\(A\)，顶点为\(P\)．

\((3)\)当\(0{ < }x{ < }3\)时，在抛物线上求一点\(E\)，使\({\triangle }CBE\)的面积有最大值\((\)图乙、丙供画图探究\()\)．

如图所示，平面直角坐标系中，直线\(y=x+2\)与\(x\)轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(D\)，\(B\)为\(AO\)的中点，\(DC⊥DB\)交\(x\)轴于点\(C\)，点\(E\)在\(y\)轴上，且\(OC=OE\)，经过\(B\)，\(E\)，\(C\)三点的抛物线与直线\(AD\)交于\(F\)，\(G\)两点，与其对称轴交于点\(M\)．

\((1)\)求经过\(B\)，\(E\)，\(C\)三点的抛物线的表达式；

\((2)P\)为线段\(FG\)上一个动点\((\)与点\(F\)，\(G\)不重合\()\)，\(PQ/\!/y\)轴与抛物线交于点\(Q\)，若以\(P\)，\(Q\)，\(M\)为顶点的三角形与\(\triangle AOD\)相似，求出满足条件的点\(P\)的坐标；

\((3)N\)是抛物线上一动点，在抛物线的对称轴上是否存在点\(H\)，使以\(C\)，\(D\)，\(N\)，\(H\)为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出满足条件的点\(H\)的坐标；若不存在，请说明理由．

已知一次函数的图象经过点\((3,-5)\)且平行于直线\(y=-2x+\dfrac{1}{3}\)，求这个一次函数的解析式．

已知两个函数，如果对于任意的自变量\(x\)，这两个函数对应的函数值记为\(y\)\({\,\!}_{1}\)，\(y\)\({\,\!}_{2}\)，都有点\((\)\(x\)，\(y\)\({\,\!}_{1})\)、\((\)\(x\)，\(y\)\({\,\!}_{2})\)关于点\((\)\(x\)，\(x\)\()\)对称，此时\(\dfrac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2}=x\)，则称这两个函数为关于\(y\)\(=\)\(x\)的对称函数\(.\)例如，\({{y}_{1}}=\dfrac{1}{2}x\)和\({{y}_{2}}=\dfrac{3}{2}x\)为关于\(y\)\(=\)\(x\)的对称函数．

其中为关于\(y\)\(=\)\(x\)的对称函数的是  \((\)填序号\()\)．

\((2)\)若\({{y}_{1}}=3x+2\)和\({{y}_{2}}=kx+b(k\ne 0)\)为关于\(y\)\(=\)\(x\)的对称函数\(.\)求\(k\)、\(b\)的值．

\((3)\)若\({{y}_{1}}=a{{x}^{2}}+bx+c\) \((a\ne 0)\)和\({{y}_{2}}={{x}^{2}}+n\)为关于\(y\)\(=\)\(x\)的对称函数，且对于任意的实数\(x\)，都有，请结合函数的图象，求\(n\)的取值范围．