某大学生利用暑假\(40\)天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为\(20\)元\(/\)件，第\(x\)天销售量为\(P\)件，销售单价为\(q\)元，经跟踪调查发现，这\(40\)天中\(p\)与\(x\)的关系保持不变，前\(20\)天\((\)包含第\(20\)天\()\)，\(q\)与\(x\)的关系满足关系式\(q=30+ax\)；从第\(21\)天到第\(40\)天中，\(q\)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与\(x\)成反比，且得到了表中的数据．

\((1)\)请直接写出\(a\)的值为________；

\((2)\)从第\(21\)天到第\(40\)天中，求\(q\)与\(x\)满足的关系式；

\((3)\)若该网店第\(x\)天获得的利润\(y\)元，并且已知这\(40\)天里前\(20\)天中\(y\)与\(x\)的函数关系式为\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+15x+500\)．

\(i\)请直接写出这\(40\)天中\(p\)与\(x\)的关系式为：________；

\(ii\)求这\(40\)天里该网店第几天获得的利润最大？

抛物线\(y=a{{x}^{2}}+bx+c\)与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点，交\(y\)轴于点\(C\) ，已知抛物线的对称轴为直线\(x=1\)，且\(B(3,0)\) ，\(C(0,-3)\)。

\((1)\)求抛物线\(y=a{{x}^{2}}+bx+c\)的解析式；

\((2)\)试问在抛物线上是否存在点\(P\)，使\(\Delta ABP\)的面积与\(\Delta ABC\)的面积相等，若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由。

\((3)\)平行于\(x\)轴的一条直线交抛物线于\(M\)、\(N\)两点，若以\(MN\) 为直径的圆恰好与\(x\)轴相切，求圆的半径。  

如图，抛物线\(y=\dfrac{1}{2} x^{2}+mx+n\)与直线\(y=-\dfrac{1}{2} x+3\)交于\(A\)，\(B\)两点，交\(x\)轴于\(D\)，\(C\)两点，连接\(AC\)，\(BC\)，已知\(A(0,3)\)，\(C(3,0)\)．

\((\)Ⅰ\()\)求抛物线的解析式和\(\tan ∠BAC\)的值；               

\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下：                      

\((1)\)点\(M\)为直线\(AB\)上方抛物线上的点，当\(∠MAB=∠BAC\)时，求点\(P\)的横坐标．

\((2)\)点\(P\)为\(y\)轴右侧抛物线上一动点，连接\(PA\)，过点\(P\)作\(PQ⊥PA\)交\(y\)轴于点\(Q\)，问：是否存在点\(P\)使得以\(A\)，\(P\)，\(Q\)为顶点的三角形与\(\triangle ACB\)相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)经过\(B(-1,0)\)，\(D(-2,5)\)两点，与\(x\)轴另一交点为\(A\)，点\(H\)是线段\(AB\)上一动点，过点\(H\)的直线\(PQ⊥x\)轴，分别交直线\(AD\)、抛物线于点\(Q\)、\(P\)．

\((1)\)求抛物线的解析式；

\((2)\)是否存在点\(P\)，使\(∠APB=90^{\circ}\)，若存在，求出点\(P\)的横坐标，若不存在，说明理由；

\((3)\)连接\(BQ\)，一动点\(M\)从点\(B\)出发，沿线段\(BQ\)以每秒\(1\)个单位的速度运动到\(Q\)，再  沿线段\(QD\)以每秒\( \sqrt{2}\)个单位的速度运动到\(D\)后停止，当点\(Q\)的坐标是多少时，点\(M\)在整个运动过程中用时\(t\)最少？

已知二次函数\(y=x^{2}+bx+c\)的图象过点\(A(-3,0)\)和点\(B(1,0)\)，且与\(y\)轴交于点\(C\)，\(D\)点在抛物线上且横坐标是\(-2\)．

\((1)\)求抛物线的解析式；

\((2)\)抛物线的对称轴上是否存在一点\(P\)，使得\(PA+PD\)的值最小，若存在求出\(P\)点的坐标；若不存在请说明理由。

已知抛物线线\({C}_{1}：{y}_{1}=-2{x}^{2}+4mx-2{m}^{2}+m+5 \)的顶点\(P\)在定直线\(l\)上运动。

\((1)\) 求直线\(l\)的解析式；

\((2)\)抛物线线\({{C}_{1}}\)与直线\(l\)的另一交点为\(Q,\)求\(\triangle POQ\)的面积；

\((3)\)将抛物线线\({{C}_{1}}\)平移，得到新抛物线\({{C}_{2}}\)，\({{C}_{2}}\)的顶点为原点，点\(A(-1,-2)\)为抛物线\({{C}_{2}}\)上一点，过点\(A\)作直线\(m\)与抛物线\({{C}_{2}}\)有且只有一个交点，\(A\)、\(C\)两点关于\(y\)轴对称，\(E\)、\(F\)两点在抛物线上，\(EF/\!/AB\)，\(EC\)、\(CF\)交\(x\)轴于\(M\)、\(N\)，求\(OM-ON\)的值。