如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=-{{x}^{2}}+bx+c\)经过\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)两点．

\((1)\)求抛物线的表达式；

\((2)\)抛物线\(y=-{{x}^{2}}+bx+c\)在第一象限内的部分记为图象\(G\)，如果过点\(P(-3,4)\)的直线\(y=mx+n(m\neq 0)\)与图象\(G\)有唯一公共点，请结合图象，求\(n\)的取值范围．

已知抛物线：\(y=m{{x}^{2}}-2mx+m+1(m\ne 0)\)．

\((1)\)求抛物线的顶点坐标．

\((2)\)若直线\({{l}_{1}}\)经过\((2,0)\)点且与\(x\)轴垂直，直线\({{l}_{2}}\)经过抛物线的顶点与坐标原点，且\({{l}_{1}}\)与\({{l}_{2}}\)的交点\(P\)在抛物线上\(.\)求抛物线的表达式．

\((3)\)已知点\(A(0,2)\)，点\(A\)关于\(x\)轴的对称点为点\(B.\)抛物线与线段\(AB\)恰有一个公共点，结合函数图象写出\(m\)的取值范围．

如图\(1\)，对于平面内的点\(P\)和两条曲线\({{L}_{1}}\)、\({{L}_{2}}\)给出如下定义：若从点\(P\)任意引出一条射线分别与\({{L}_{1}}\)、\({{L}_{2}}\)交于\({{Q}_{1}}\)、\({{Q}_{2}}\)，总有\(\dfrac{P{{Q}_{1}}}{P{{Q}_{2}}}\)是定值，我们称曲线\({{L}_{1}}\)与\({{L}_{2}}\)“曲似”，定值\(\dfrac{P{{Q}_{1}}}{P{{Q}_{2}}}\)为“曲似比”，点\(P\)为“曲心”．

    例如：如图\(2\)，以点\(O{{'}}\)为圆心，半径分别为\({{r}_{1}}\)、\({{r}_{2}}(\)都是常数\()\)的两个同心圆\({{C}_{1}}\)、\({{C}_{2}}\)，从点\(O{{'}}\)任意引出一条射线分别与两圆交于点\(M\)、\(N\)，因为总有\(\dfrac{O{{{'}}}M}{O{{{'}}}N}=\dfrac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}\)是定值，所以同心圆\({{C}_{1}}\)与\({{C}_{2}}\)曲似，曲似比为\(\dfrac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}\)，“曲心”为\(O{{'}}\)．

    \((1)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(y=kx\)与抛物线\(y={{x}^{2}}\)、\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)分别交于点\(A\)、\(B\)，如图\(3\)所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；

    \((2)\)在\((1)\)的条件下，以\(O\)为圆心，\(OA\)为半径作圆，过点\(B\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(C\)，是否存在\(k\)值，使\(⊙O\)与直线\(BC\)相切？若存在，求出\(k\)的值；若不存在，说明理由；

    \((3)\)在\((1)\)、\((2)\)的条件下，若将“\(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)”改为“\(y=\dfrac{1}{m}{{x}^{2}}\)”，其他条件不变，当存在\(⊙O\)与直线\(BC\)相切时，直接写出\(m\)的取值范围及\(k\)与\(m\)之间的关系式．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，二次函数\(y=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\)的图象经过\(A(0,4)\)，\(B(2,0)\)，\(C(-2,0)\)三点．

   \((1)\)求二次函数的表达式；

   \((2)\)在\(x\)轴上有一点\(D(-4,0)\)，将二次函数的图象沿射线\(DA\)方向平移，使图象再次经过点\(B\)．

        \(①\)求平移后图象顶点\(E\)的坐标；

        \(②\)直接写出此二次函数的图象在\(A\)，\(B\)两点之间\((\)含\(A\)，\(B\)两点\()\)的曲线部分在平移过程中所扫过的面积．

已知二次函数\(y= x^{2}+4x+3\)．

\((1)\)用配方法将\(y= x^{2}+4x+3\)化成\(y=a{{(x-h)}^{2}}+k\)的形式；

\((2)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，画出这个二次函数的图象．