数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题。下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式\(|x-1| < 2\)的解集
\((1)\)探究\(|x-1|\)的几何意义
![](https://www.ebk.net.cn/tikuimages/2/2018/400/shoutiniao53/0f3fa7c3bdf592f9ad4bcdf521bd86c9.png)
如图\(①\),在以\(O\)为原点的数轴上,设点\(A\)\('\)对应点的数为\(x-1\),由绝对值的定义可知,点\(A\)\('\)与\(O\)的距离为\(|x-1|\),可记为:\(A\)\('O=|x-1|\)。将线段\(A\)\('O\)向右平移一个单位,得到线段\(AB\),此时点\(A\)对应的数为\(x\),点\(B\)的对应数是\(1\),因为\(AB=\) \(A\)\('O\),所以\(AB=|x-1|\)。
因此,\(|x-1|\)的几何意义可以理解为数轴上\(x\)所对应的点\(A\)与\(1\)所对应的点\(B\)之间的距离\(AB\)。
\((2)\)求方程\(|x-1|=2\)的解
因为数轴上\(3\)与\(-1\)所对应的点与\(1\)所对应的点之间的距离都为\(2\),所以方程的解为\(3\),\(-1\)
\((3)\)求不等式\(|x-1| < 2\)的解集
因为\(|x-1|\)表示数轴上\(x\)所对应的点与\(1\)所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于\(2\)的点所对应的数\(x\)的范围。
请在图\(②\)的数轴上表示\(|x-1| < 2\)的解集,并写出这个解集
![](https://www.ebk.net.cn/tikuimages/2/2018/400/shoutiniao53/83af7292ea9b796802edf4d810e03137.png)
探究二:探究\( \sqrt{(x-a{)}^{2}+(y-b{)}^{2}} \)的几何意义
\((1)\)探究\( \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} \)的几何意义
如图\(③\),在直角坐标系中,设点\(M\)的坐标为\((x,y)\),过\(M\)作\(MP⊥x\)轴于\(P\),作\(MQ⊥y\)轴于\(Q\),则点\(P\)点坐标\((x,0)\),\(Q\)点坐标\((0,y)\),\(|OP|=x\),\(|OQ|=y\),在\(Rt\triangle OPM\)中,\(PM=OQ=y\),则\(MO= \sqrt{O{P}^{2}+P{M}^{2}}= \sqrt{|x{|}^{2}+|y{|}^{2}}= \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} \)因此\( \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} \)的几何意义可以理解为点\(M(x,y)\)与原点\(O(0,0)\)之间的距离\(OM\)
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\((2)\)探究\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \)的几何意义
如图\(④\),在直角坐标系中,设点 \(A\)\('\)的坐标为\((x-1,y-5)\),由探究\((\)二\()(1)\)可知, \(A\)\('O=\)\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \),将线段 \(A\)\('O\)先向右平移\(1\)个单位,再向上平移\(5\)个单位,得到线段\(AB\),此时\(A\)的坐标为\((x,y)\),点\(B\)的坐标为\((1,5)\)。因为\(AB=\) \(A\)\('O\),所以 \(AB\)\(=\)\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \),因此\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \)的几何意义可以理解为点\(A(x,y)\)与点\(B(1,5)\)之间的距离。
![](https://www.ebk.net.cn/tikuimages/2/2018/400/shoutiniao91/c10666f1bfa38f90dcdaf68e620938ad.png)
\((3)\)探究\( \sqrt{(x+3{)}^{2}+(y+4{)}^{2}} \)的几何意义
请仿照探究二\((2)\)的方法,在图\(⑤\)中画出图形,并写出探究过程。
![](https://www.ebk.net.cn/tikuimages/2/2018/400/shoutiniao61/bad56ffaf0d846bc06d8a97765fad7a8.png)
\((4)\)\( \sqrt{(x-a{)}^{2}+(y-b{)}^{2}} \)的几何意义可以理解为:_________________________.
拓展应用:
\((1)\)\( \sqrt{(x-2{)}^{2}+(y+1{)}^{2}}+ \sqrt{(x+1{)}^{2}+(y+5{)}^{2}} \)的几何意义可以理解为:点\(A(x,y)\)与点\(E(2,-1)\)的距离与点\(AA(x,y)\)与点\(F\)____________\((\)填写坐标\()\)的距离之和。
\((2) \sqrt{(x-2{)}^{2}+(y+1{)}^{2}}+ \sqrt{(x+1{)}^{2}+(y+5{)}^{2}} \)的最小值为____________\((\)直接写出结果\()\)