知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
【探究证明】

\((1)\)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图\(1\)，矩形\(ABCD\)中，\(EF⊥GH\)，\(EF\)分别交\(AB\)，\(CD\)于点\(E\)，\(F\)，\(GH\)分别交\(AD\)，\(BC\)于点\(G\)，\(H.\)求证：\(\dfrac{EF}{GH}= \dfrac{AD}{AB} \)；

【结论应用】

\((2)\)如图\(2\)，在满足\((1)\)的条件下，又\(AM⊥BN\)，点\(M\)，\(N\)分别在边\(BC\)，\(CD\)上，若\(\dfrac{EF}{GH}= \dfrac{11}{15} \)，则\(\dfrac{BN}{AM} \)的值为______；

【联系拓展】

\((3)\)如图\(3\)，四边形\(ABCD\)中，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(AB=AD=10\)，\(BC=CD=5\)，\(AM⊥DN\)，点\(M\)，\(N\)分别在边\(BC\)，\(AB\)上，求\(\dfrac{DN}{AM} \)的值．

难度：难

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2．

如图，在四边形\(ABCD\)中，\(BD\)为一条对角线，\(AD/\!/BC\)，\(AD=2BC\)，\(∠ABD=90^{\circ} \)，\(E\)为\(AD\)的中点，连接\(BE\)．

\((1)\)求证：四边形\(BCDE\)为菱形； \((2)\)连接\(AC\)，若\(AC\)平分\(∠BAD \)，\(BC=1\)，求\(AC\)的长

难度：难

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3．
如图，已知\(ED\)为\(⊙O\)的直径且\(ED=4\)，点\(A(\)不与点\(E\)，\(D\)重合\()\)为\(⊙O\)上一个动点，线段\(AB\)经过点\(E\)，且\(EA=EB\)，点\(F\)为\(⊙O\)上一个动点，\(∠FEB=90^{\circ}\)，\(BF\)的延长线交\(AD\)的延长线于点\(C\)．

\((1)\)求证：\(\triangle EFB\)≌\(\triangle ADE\)；

\((2)\)当点\(A\)在\(⊙O\)上移动时，直接回答四边形\(FCDE\)的最大面积为多少．

难度：难

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4．

如图，在等边三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(BC\)的中点，以\(AD\)为边向左侧作等边三角形\(ADE\)．

\((1)\)求\(∠CAE\)的度数．

\((2)\)取\(AB\)的中点\(F\)，连接\(CF\)、\(EF.\)试证明四边形\(CDEF\)是平行四边形．

难度：难

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5．如图，在▱\(ABCD\)中，\(AE=CF\)，求证：四边形\(DEBF\)是平行四边形．

难度：难

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6．
如图，在四边形\(ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)，\(∠A=90^{\circ}\)，\(AB=12\)，\(BC=21\)，\(AD=16.\)动点\(P\)从点\(B\)出发，沿射线\(BC\)的方向以每秒\(2\)个单位长的速度运动，动点\(Q\)同时从点\(A\)出发，在线段\(AD\)上以每秒\(1\)个单位长的速度向点\(D\)运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动\(.\)设运动的时间为\(t(\)秒\()\)．
\((1)\)设\(\triangle DPQ\)的面积为\(S\)，求\(S\)与\(t\)之间的函数关系式；
\((2)\)当\(t\)为何值时，四边形\(PCDQ\)是平行四边形？
\((3)\)分别求出当\(t\)为何值时，\(①PD=PQ\)，\(②DQ=PQ\)．

难度：难

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7．
如图\(1\)，在直角坐标系中，\(A(0,1)\)，\(B(0,3)\)，\(P\)是\(x\)轴上一动点，在直线\(y=x\)上是否存在点\(Q\)，使以\(A\)、\(B\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的\(P\)、\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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8．

如图，以\(\triangle ABC\)的各边向同侧作等边\(\triangle ABD\)、等边\(\triangle BCF\)、等边\(\triangle ACE\)．

   \((1)\)求证：四边形\(AEFD\)是平行四边形；

   \((2)\)当\(\triangle ABC\)是___________三角形时，四边形\(AEFD\)是菱形；

   \((3)\)当\(∠BAC=\)__________时，四边形\(AEFD\)是矩形；

\((4)\)当\(∠BAC=\)__________时，以\(A\)、\(E\)、\(F\)、\(D\)为顶点的四边形不存在．

难度：难

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9．
如图，对称轴为直线\(x=\dfrac{{7}}{{2}}\)的抛物线经过点\(A(6,0)\)和\(B(0,4)\)．

\((1)\)求抛物线解析式及顶点坐标；

\((2)\)设点\(E(x,y)\)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形\(OEAF\)是以\(OA\)为对角线的平行四边形，求四边形\(OEAF\)的面积\(S\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围；

\((3)①\)当四边形\(OEAF\)的面积为\(24\)时，请判断\(OEAF\)是否为菱形？\(②\)是否存在点\(E\)，使四边形\(OEAF\)为正方形？若存在，求出点\(E\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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10．
阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图\(1\)，我们把一个四边形\(ABCD\)的四边中点\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)依次连接起来得到的四边形\(EFGH\)是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接\(AC\)．

结合小敏的思路作答
\((1)\)若只改变图\(1\)中四边形\(ABCD\)的形状\((\)如图\(2)\)，则四边形\(EFGH\)还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
\((2)\)如图\(2\)，在\((1)\)的条件下，若连接\(AC\)，\(BD\)．
\(①\)当\(AC\)与\(BD\)满足什么条件时，四边形\(EFGH\)是菱形，写出结论并证明；
\(②\)当\(AC\)与\(BD\)满足什么条件时，四边形\(EFGH\)是矩形，直接写出结论．

难度：难

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