知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图\(①\)，在\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(∠B=30^{\circ}\)，\(AC=1\)，\(D\)为\(AB\)的中点，\(EF\)为\(\triangle ACD\)的中位线，四边形\(EFGH\)为\(\triangle ACD\)的内接矩形\((\)矩形的四个顶点均在\(\triangle ACD\)的边上\()\)．
\((1)\)计算矩形\(EFGH\)的面积；
\((2)\)将矩形\(EFGH\)沿\(AB\)向右平移，\(F\)落在\(BC\)上时停止移动\(.\)在平移过程中，当矩形与\(\triangle CBD\)重叠部分的面积为\( \dfrac { \sqrt {3}}{16}\)时，求矩形平移的距离；
\((3)\)如图\(③\)，将\((2)\)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形\(E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}\)，将矩形\(E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}\)绕\(G_{1}\)点按顺时针方向旋转，当\(H_{1}\)落在\(CD\)上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形\(E_{2}F_{2}G_{1}H_{2}\)，设旋转角为\(α\)，求\(\cos α\)的值．

难度：难

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2．
在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(BE\)平分\(∠ABC\)，\(D\)是边\(AB\)上一点，以\(BD\)为直径的\(⊙O\)经过点\(E\)，且交\(BC\)于点\(F\)．
\((1)\)求证：\(AC\)是\(⊙O\)的切线；
\((2)\)若\(BF=6\)，\(⊙O\)的半径为\(5\)，求\(CE\)的长．

难度：难

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3．
如图，将矩形纸片\(ABCD\)沿对角线\(BD\)折叠，使点\(A\)落在平面上的\(F\)点处，\(DF\)交\(BC\)于点\(E\)．
\((1)\)求证：\(\triangle DCE\)≌\(\triangle BFE\)；
\((2)\)若\(CD= \sqrt {3}\)，\(DB=2 \sqrt {3}\)，求\(BE\)的长．

难度：难

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4．
在直角坐标系中，过原点\(O\)及点\(A(8,0)\)，\(C(0,6)\)作矩形\(OABC\)、连结\(OB\)，点\(D\)为\(OB\)的中点，点\(E\)是线段\(AB\)上的动点，连结\(DE\)，作\(DF⊥DE\)，交\(OA\)于点\(F\)，连结\(EF.\)已知点\(E\)从\(A\)点出发，以每秒\(1\)个单位长度的速度在线段\(AB\)上移动，设移动时间为\(t\)秒．

\((1)\)如图\(1\)，当\(t=3\)时，求\(DF\)的长．
\((2)\)如图\(2\)，当点\(E\)在线段\(AB\)上移动的过程中，\(∠DEF\)的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出\(\tan ∠DEF\)的值．
\((3)\)连结\(AD\)，当\(AD\)将\(\triangle DEF\)分成的两部分的面积之比为\(1\)：\(2\)时，求相应的\(t\)的值．

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5．
如图，把一张矩形纸片\(ABCD\)按如图方式折叠，使顶点\(B\)和点\(D\)重合，折痕为\(EF\)，若\(AB=3cm\)，\(BC=4cm.\)则线段\(EF=\) ______ \(cm\)．

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6．
如图，在矩形\(ABCD\)中，点\(E\)在\(BC\)边上，连接\(AE\)，\(\triangle ABE\)与\(\triangle AB′E\)关于直线\(AE\)对称，点\(B′\)在矩形\(ABCD\)的内部，连接\(B′C\)，\(B′D\)，若\(\triangle B′CD\)是等腰直角三角形，则\( \dfrac {AD}{CD}\)的值为 ______ ．

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7．
已知：矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(BC=3\)，点\(M\)、\(N\)分别在边\(AB\)、\(CD\)上，直线\(MN\)交矩形对角线\(AC\)于点\(E\)，将\(\triangle AME\)沿直线\(MN\)翻折，点\(A\)落在点\(P\)处，且点\(P\)在射线\(CB\)上．
\((1)\)如图\(1\)，当\(EP⊥BC\)时，求\(CN\)的长；
\((2)\)如图\(2\)，当\(EP⊥AC\)时，求\(AM\)的长；
\((3)\)请写出线段\(CP\)的长的取值范围，及当\(CP\)的长最大时\(MN\)的长．

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8．
如图，在平面直角坐标系中，\(O\)为原点，四边形\(ABCO\)是矩形，点\(A\)，\(C\)的坐标分别是\(A(0,2)\)和\(C(2 \sqrt {3},0)\)，点\(D\)是对角线\(AC\)上一动点\((\)不与\(A\)，\(C\)重合\()\)，连结\(BD\)，作\(DE⊥DB\)，交\(x\)轴于点\(E\)，以线段\(DE\)，\(DB\)为邻边作矩形\(BDEF\)．
\((1)\)填空：点\(B\)的坐标为 ______ ；
\((2)\)是否存在这样的点\(D\)，使得\(\triangle DEC\)是等腰三角形？若存在，请求出\(AD\)的长度；若不存在，请说明理由；
\((3)①\)求证：\( \dfrac {DE}{DB}= \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)；
\(②\)设\(AD=x\)，矩形\(BDEF\)的面积为\(y\)，求\(y\)关于\(x\)的函数关系式\((\)可利用\(①\)的结论\()\)，并求出\(y\)的最小值．

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9．
我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
\((1)\)概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
\((2)\)问题探究：
如图\(1\)，在等邻角四边形\(ABCD\)中，\(∠DAB=∠ABC\)，\(AD\)，\(BC\)的中垂线恰好交于\(AB\)边上一点\(P\)，连结\(AC\)，\(BD\)，试探究\(AC\)与\(BD\)的数量关系，并说明理由；
\((3)\)应用拓展：
如图\(2\)，在\(Rt\triangle ABC\)与\(Rt\triangle ABD\)中，\(∠C=∠D=90^{\circ}\)，\(BC=BD=3\)，\(AB=5\)，将\(Rt\triangle ABD\)绕着点\(A\)顺时针旋转角\(α(0^{\circ} < ∠α < ∠BAC)\)得到\(Rt\triangle AB′D′(\)如图\(3)\)，当凸四边形\(AD′BC\)为等邻角四边形时，求出它的面积．

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10．
如图，在矩形\(ABCD\)中，\(E\)是\(AB\)边上的中点，将\(\triangle BCE\)沿\(CE\)翻折得到\(\triangle FCE\)，连接\(AF.\)若\(∠EAF=75^{\circ}\)，那么\(∠BCF\)的度数为_____．

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