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材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线\(.\)梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．

如图\(①\)：在梯形\(ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)，\(∵E\)，\(F\)是\(AB\)，\(CD\)的中点，\(∴EF/\!/AD/\!/BC\)，\(EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)\)．

材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的真线必平分第三边．

如图\(②\)：在\(\triangle ABC\)中，\(∵E\)是\(AB\)的中点，\(EF/\!/BC\)，\(∴F\)是\(AC\)的中点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．

如图\(③\)，在梯形\(ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)，\(AC⊥BD\)于\(O\)，\(E\)，\(F\)分别为\(AB\)，\(CD\)的中点，\(∠DBC=30^{\circ}\)．

\((1)\)求证：\(EF=AC\)；

\((2)\)若\(OD=3\sqrt{3}\)，\(OC=5\)，求\(MN\)的长．

如图\((1)\)，点\(C\)为线段\(BE\)上的一点，分别以\(BC\)和\(CE\)为边在\(BE\)的同侧作正方形\(ABCD\)和\(CEFG\)，点\(M\)，\(N\)分别是线段\(AF\)和\(GD\)的中点，连接\(MN\)．

    \((1)\)线段\(MN\)和\(GD\)的数量关系是________，位置关系是________．

    \((2)\)将图\((1)\)中的正方形\(CEFG\)绕点\(C\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)，其他条件不变，如图\((2)\)，则\((1)\)中的结论是否仍然成立？请说明理由．

    \((3)\)已知\(BC=7\)，\(CE=3\)，将图\((1)\)中的正方形\(CEFG\)绕点\(C\)旋转一周，其他条件不变，直接写出\(MN\)的最大值和最小值．

如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB\)\(=5\)，\(AD\)\(=3\)，点\(P\)是\(AB\)边上一点\((\)不与\(A\)，\(B\)重合\()\)，连接\(CP\)，过点\(P\)作\(PQ\)\(⊥\)\(CP\)交\(AD\)边于点\(Q\)，连接\(CQ\)．

\((1)\)当\(\triangle \)\(CDQ\)≌\(\triangle \)\(CPQ\)时，求\(AQ\)的长；

\((2)\)取\(CQ\)的中点\(M\)，连接\(MD\)，\(MP\)，若\(MD\)\(⊥\)\(MP\)，求\(AQ\)的长．

\((1)\)求证：\(AE\)平分\(∠BAO\)；

\((2)\)当\(OE=6\)， \(BC=4\)时，求直线\(AB\)的解析式．

如图\(①\)，四边形\(ABCD\)中，\(AB/\!/CD\)，\(∠ADC=90^{\circ}\)，\(P\)从\(A\)点出发，以每秒\(1\)个单位长度的速度，按\(A→B→C→D\)的顺序在边上匀速运动，设\(P\)点的运动时间为\(t\)秒，\(\triangle PAD\)的面积为\(S\)，\(S\)关于\(t\)的函数图象如图\(②\)所示，根据图象回答下列问题：

\((1)\)结合图\(①\)和图\(②\)分析，当\(P\)点运动到________点时，\(\triangle PAD\)的面积最大；

\((2)\)求图\(①\)中线段\(AB\)的长；

\((3)\)当\(P\)点运动到\(BC\)中点时，求\(\triangle PAD\)的面积．