问题：如图\((1)\)，点\(E\)、\(F\)分别在正方形\(ABCD\)的边\(BC\)、\(CD\)上，\(∠EAF=45^{\circ}\)，试判断\(BE\)、\(EF\)、\(FD\)之间的数量关系．

【发现证明】

小聪把\(\triangle ABE\)绕点\(A\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)至\(\triangle ADG\)，可证\(F\)，\(D\)，\(G\)三点共线，根据\(SAS\)，易证\(\triangle AFG\)≌\(\triangle AFE\)，从而发现\(EF=BE+FD\)，请你利用图\((1)\)证明上述结论．

【类比引申】

如图\((2)\)，四边形\(ABCD\)中，\(∠BAD\neq 90^{\circ}\)，\(AB=AD\)，\(∠B+∠D=180^{\circ}\)，点\(E\)、\(F\)分别在边\(BC\)、\(CD\)上，则当\(∠EAF\)与\(∠BAD\)满足_______关系时，仍有\(EF=BE+FD(\)不需证明\()\)．

【探究应用】

如图\((3)\)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形\(ABCD.\)已知\(AB=AD=80\)米，\(∠B=60^{\circ}\)，\(∠ADC=120^{\circ}\)，\(∠BAD=150^{\circ}\)，道路\(BC\)、\(CD\)上分别有景点\(E\)、\(F\)，且\(AE⊥AD\)，\(DF=40(\sqrt{3}-1)\)米，现要在\(E\)、\(F\)之间修一条笔直道路，求这条道路\(EF\)的长\((\)结果取整数，参考数据：\(\sqrt{2}=1.41\)，\(\sqrt{3}=1.73)\)

如图，\(⊙\)\(O\)的半径为\(2\)，\(AB\)、\(CD\)是互相垂直的两条直径，点\(P\)是\(⊙\)\(O\)上任意一点\((\)\(P\)与\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)不重合\()\)，过点\(P\)作\(PM\)\(⊥\)\(AB\)于点\(M\)，\(PN\)\(⊥\)\(CD\)于点\(N\)，点\(Q\)是\(MN\)的中点，当点\(P\)沿着圆周转过\(45^{\circ}\)时，点\(Q\)走过的路径长为           

已知，如图，\(\triangle \)\(OBC\)中是直角三角形，\(OB\)与\(x\)轴正半轴重合，\(∠\)\(OBC\)\(=90^{\circ}\)，且\(OB\)\(=1\)，\(BC\)\(= \sqrt{3} \)，将\(\triangle \)\(OBC\)绕原点\(O\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)再将其各边扩大为原来的\(m\)倍，使\(OB\)\({\,\!}_{1}=\)\(OC\)，得到\(\triangle \)\(OB\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)，将\(\triangle \)\(OB\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)绕原点\(O\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)再将其各边扩大为原来的\(m\)倍，使\(OB\)\({\,\!}_{2}=\)\(OC\)\({\,\!}_{1}\)，得到\(\triangle \)\(OB\)\({\,\!}_{2}\)\(C\)\({\,\!}_{2}\)，\(……\)，如此继续下去，得到\(\triangle \)\(OB\)\({\,\!}_{2017}\)\(C\)\({\,\!}_{2017}\)，则\(m\)\(=\)       。点\(C\)\({\,\!}_{2017}\)的坐标是       。

如图：已知直线\(y=kx+1\)经过点\(A(3,-2)\)、点\(B(a,2)\)，交\(y\)轴于点\(M\)。

\((1)\)求\(a\)的值及\(AM\)的长；

\((2)\)在\(x\)轴的负半轴上确定点\(P\)，使得\(\triangle AMP\)成等腰三角形，请你直接写出点\(P\)的坐标；

\((3)\)将直线\(AB\)绕点\(A\)逆时针旋转\(45^{\circ}\)得到直线\(AC\)，点\(D(-3,b)\)在\(AC\)上，连接\(BD\)，设\(BE\)是\(\triangle ABD\)的高，过点\(E\)的射线\(EF\)将\(\triangle ABD\)的面积分成\(2\)：\(3\)两部分，交\(\triangle ABD\)的另一边于点\(F\)，求点\(F\)的坐标\(.\)