知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，菱形$OABC$的一边$OA$在$x$轴的负半轴上，$O$是坐标原点，$\tan ∠AOC= \dfrac {4}{3}$，反比例函数$y= \dfrac {k}{x}$的图象经过点$C$，与$AB$交于点$D$，若$\triangle COD$的面积为$20$，则$k$的值等于 ______ ．

难度：难

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2．
如图，$\triangle ABC$中，$∠BAC=60^{\circ}$，$∠ABC=45^{\circ}$，$AB=2 \sqrt {2}$，$D$是线段$BC$上的一个动点，以$AD$为直径画$⊙O$分别交$AB$，$AC$于$E$，$F$，连接$EF$，则线段$EF$长度的最小值为 ______ ．

难度：难

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3．
如图$①$，在$\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=30^{\circ}$，$AC=1$，$D$为$AB$的中点，$EF$为$\triangle ACD$的中位线，四边形$EFGH$为$\triangle ACD$的内接矩形$($矩形的四个顶点均在$\triangle ACD$的边上$)$．
$(1)$计算矩形$EFGH$的面积；
$(2)$将矩形$EFGH$沿$AB$向右平移，$F$落在$BC$上时停止移动$.$在平移过程中，当矩形与$\triangle CBD$重叠部分的面积为$ \dfrac { \sqrt {3}}{16}$时，求矩形平移的距离；
$(3)$如图$③$，将$(2)$中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形$E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}$，将矩形$E_{1}F_{1}G_{1}H_{1}$绕$G_{1}$点按顺时针方向旋转，当$H_{1}$落在$CD$上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形$E_{2}F_{2}G_{1}H_{2}$，设旋转角为$α$，求$\cos α$的值．

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4．
将一副三角尺如图拼接：含$30^{\circ}$角的三角尺$(\triangle ABC)$的长直角边与含$45^{\circ}$角的三角尺$(\triangle ACD)$的斜边恰好重合$.$已知$AB=2 \sqrt {3}$，$P$是$AC$上的一个动点．
$(1)$当点$P$运动到$∠ABC$的平分线上时，连接$DP$，求$DP$的长；
$(2)$当点$P$在运动过程中出现$PD=BC$时，求此时$∠PDA$的度数；
$(3)$当点$P$运动到什么位置时，以$D$，$P$，$B$，$Q$为顶点的平行四边形的顶点$Q$恰好在边$BC$上？求出此时▱$DPBQ$的面积．

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5．
如图，等边$\triangle ABC$的边长为$8$，$D$、$E$两点分别从顶点$B$、$C$出发，沿边$BC$、$CA$以$1$个单位$/s$、$2$个单位$/s$的速度向顶点$C$、$A$运动，$DE$的垂直平分线交$BC$边于$F$点，若某时刻$\tan ∠CDE= \dfrac { \sqrt {3}}{2}$ 时，则线段$CF$的长度为 ______ ．

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6．
在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，$A$，$B$，$C$，$D$都在格点处，$AB$与$CD$相交于$O$，则$\tan ∠BOD$的值等于 ______ ．

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7．

在平面直角坐标系$xOy$中，对于半径为$r(r > 0)$的$⊙O$和点$P$，给出如下定义：若$r\leqslant PO\leqslant \dfrac{3}{2}r $，则称$P$为$⊙O$的“近外点”．

$(1)$当$⊙O$ 的半径为$2$时，点$A(4,0)$， $B (-\dfrac{5}{2},0)$，$C(0, 3)$，$D (1,-1)$中，$⊙O$的“近外点”是_____；

$(2)$若点$E(3,4)$是$⊙O$的“近外点”，求$⊙O$的半径$r$的取值范围；

$(3)$当$⊙O$ 的半径为$2$时，直线$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+b(b\neq 0)$与$x$轴交于点$M$，与$y$轴交于点$N$，若线段$MN$上存在$⊙O$的“近外点”，直接写出$b$的取值范围．

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8．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF= $\text{[math]}$ ，求BE的长．

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9．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB= $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．

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10．如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=
2
．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E．
（1）求证：
PA
PB
=
2
；
（2）若PQ=2，试求∠E度数．

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