10.
实验与探究:
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现,三角点阵中前4行的点数的和为10,你能求出前24行点数的和是多少吗?
我们用试验的方法,即由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300.即前24行的点数和是300,但是这样寻找答案需要花费较多时间,下面我们一起来探究用简便的方法得出结果.
我们先探求三角点阵中前n行的点数和与n的数量关系:前n行的点数的和是1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,可以发现.
2×[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]=[1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n]+[n+(n-1)+(n-2)+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加,第二项相加…第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于n(n+1),于是得到1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n=
n(n+1)这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是
n(n+1)于是,易得前24行点数的和为
×24×(24+1)=300
请你根据上述材料回答下列问题:
(1)应用:求三角点阵中前100行点数的和;
(2)拓展:如果把图中的三角点阵中各行点数依次替换成2,4,6,…,2n,…,试用含n的整式表示三角点阵中前n行点数的和.