知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．用换元法解分式方程
2x-1
x
-
2x
2x-1
=-1时，如果设
2x-1
x
=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是．

难度：中等

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2．解方程x²-2x+3-
6
x2-2x+3
=1时，可设x²-2x+3=y，则原方程可化为y-
6
y
=1，去分母后解得y₁=-2，y₂=3，当y=-2时，x²-2x+3=-2，因△＜0，此方程无解，当y=3时，x²-2x+3=3，解得x₁=0，x₂=2．仿上求方程x²+3x-
3
x2+3x-7
=9的所有根的乘积为．

难度：较难

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3．用换元法解方程
x2-1
x
-
2x
x2-1
=3时，如果设
x2-1
x
=y，那么原方程可化为关于y的整式方程，它可以是．

难度：中等

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4．在分式方程
2x+1
x2
+
2x2
2x+1
=1中，令y=
2x+1
x2
，则原方程可化为关于y的方程是．

难度：较易

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5．解方程x⁴-6x²+5=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-6y+5=0…①，解这个方程得：y₁=1，y₂=5．当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=5时，x²=5，∴x=±
5
．所以原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=
5
，x₄=-
5
．
（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到降次的目的，体现了的数学思想．
（2）参照上面解题的思想方法解方程：（
x
x2-1
）²-
5x
x2-1
+6=0．

难度：中等

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6．已知分式方程
x2+1
x
+
2x
x2+1
=3，如果t=
x2+1
x
，那么原方程可化为关于t的整式方程是．

难度：中等

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7．已知在方程x²+2x+
2
x2+2x
=3中，如果设y=x²+2x，那么原方程可化为关于y的整式方程是．

难度：中等

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8．已知实数x满足x²+
1
x2
+x-
1
x
=4，则x-
1
x
的值是．

难度：中等

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9．阅读材料：
为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1看作一个整体，然后设x²-1=y，那么原方程可化为y²-5y+4=0…①，解得y₁=1，y₂=4．当y₁=1时，x²-1=1，∴x²=2，∴x=±
2
；当y₂=4时，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±
5
，故原方程的解为x₁=
2
，x₂=-
2
，x₃=
5
，x₄=-
5
．解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程：
x+1
x2
-
2x2
x+1
=1．

难度：中等

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10．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（
x2-1
x
）²-2
x2-1
x
+1=0，令
x2-1
x
=y，则有y²-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明提出的问题：
（1）（m²+n²）²-2（m²+n²）-3=0，则m²+n²=
（2）求出方程（x²-1）²+（x²-1）=0的根．

难度：较难

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