知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知双曲线y=
2
x
与直线y=x相交于A、B两点，点C（2，2）、D（-2，-2）在直线y=x上．
（1）若点P（1，m）为双曲线y=
2
x
上一点，求PD-PC的值（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为|MN|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
）
（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD-PC的值是否为定值？请说明理由．（参考公式：若a≥0，b≥0，则a+b≥2
ab
）
（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PE=4时，求P的坐标．

难度：较难

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2．（2016•临澧县模拟）如图，顶点M（0，-1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．
（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

难度：中等

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3．如图1，已知抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与x轴交于A，B，与y轴交于点E，点C为抛物线的顶点，已知B（3，0），EO=BO，连接EB．
（1）求抛物线解析式和直线EB的解析式．
（2）设点F为抛物线在直线EB下方部分上的一动点，求当△EFB面积最大时，点F的坐标，并求出此时△EFB的面积．
（3）如图2，过点E作直线EG∥x轴交抛物线于点G，连接AG，AC，在抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠GAC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x²+3x图象的对称轴交于点B．
（1）写出点B的坐标；
（2）将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴于点C、交y轴于点D，点A是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当△AOB的面积取最大值时，点C的坐标；
（3）已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若△PCD的外接圆直径为PC，试问：以P、C、D为顶点的三角形与△COD能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

难度：较难

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5．如图，已知抛物线F₁：y=x²-2x+2，的顶点为P，与y轴的交点为A，与直线OP交于另一点B，将抛物线F₁向右平移
1
2
个单位，再向下平移
5
4
个单位得抛物线F₂，抛物线F₂与x轴相交于D、C两点（D在C的左边）．
（1）求直线OP及抛物线F₂的函数关系式；
（2）连接AC，探究OB与AC的关系，并说明理由；
（3）在直线OB上是否存在点Q，使△DCQ的周长最小？若存在，求Q点的坐标和△DCQ周长的最小值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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