知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．我们定义：在平面直角坐标系中，过点P分别作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，若矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是平面直角坐标系中的靓点．
（1）判断点C（1，3），D（-4，4）是不是平面直角坐标系中的靓点，并说明理由；
（2）若平面直角坐标系中的一个靓点Q（m，3）恰好在一次函数y=-x+b（b为常数）的图象上，求m、b的值；
（3）过点E（-2，0），且平行于y轴的直线上有靓点吗？有，求出来；没有，说明理由．

难度：中等

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2．如图，以等边△OAB的边OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，使点A在第一象限建立平面直角坐标系，其中△OAB边长为6个单位，点P从O点出发沿折线OAB向B点以3单位/秒的速度向B点运动，点Q从O点出发以2单位/秒的速度沿折线OBA向A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止．
①点A坐标为，P、Q两点相遇时交点的坐标为；
②当t=2时，S_△OPQ= ；当t=3时，S_△OPQ= ；
③设△OPQ的面积为S，当0＜t≤3时试求S关于t的函数关系式；
④当t=2时，试求在y轴上能否找一点M，使得以M、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由．

难度：较难

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3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作▱DEFA．
（1）图中AB= ；BE= （用m的代数式表示）．
（2）若▱DEFA为矩形，求m的值；
（3）是否存在m的值，使得▱DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．（2016春•深圳校级月考）连接AB，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，平面内有一点E（3，1），直线BE与x轴交于点F．直线AB的解析式记作y₁=kx+b，直线BE解析式记作y₂=mx+t．求：
（1）直线AB的解析式△BCF的面积；
（2）当x    时，kx+b＞mx+t；
当x    时，kx+b＜mx+t；
当x    时，kx+b=mx+t；
（3）在x轴上有一动点H，使得△OBH为等腰三角形，求H的坐标．

难度：中等

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5．在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F．请回答：
（Ⅰ）如图1，若点E的坐标为（0，4），求点A的坐标；
（Ⅱ）将矩形沿直线y=-
1
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x+n折叠，求点A的坐标；
（Ⅲ）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．

难度：中等

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6．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12
2

（1）如图1，求点C的坐标；
（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF²=OE²+AF²；
（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．

难度：较易

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7．（2016•福田区二模）如图，直线y=x+3分别交x，y轴于点D，C，点B在x轴上，OB=OC，过点B作直线m∥CD．点P、Q分别为直线m和直线CD上的动点，且点P在x轴的上方，满足∠POQ=45°
（1）则∠PBO= 度；
（2）问：PB•CQ的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）求证：CQ²+PB²=PQ²．

难度：中等

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8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．
（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．
（2）若正方形以每秒
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个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

难度：中等

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9．如图1，矩形ABCD的顶点A（6，0），B（0，8），AB=2BC，直线y=-
1
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x+m（m≥13）交坐标轴于M，N两点，将矩形ABCD沿直线y=-
1
2
x+m（m≥13）翻折后得到矩形A′B′C′D′．
（1）求点C的坐标和tan∠OMN的值；
（2）如图2，直线y=-
1
2
x+m过点C，求证：四边形BMB′C是菱形；
（3）如图1，在直线y=-
1
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x+m（m≥13）平移的过程中．
①求证：B′C′∥y轴；
②若矩形A′B′C′D′的边与直线y=-x+43有交点，求m的取值范围．

难度：中等

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10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰△ABC，AB=AC，点B在x轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，点A在y轴正半轴上，且BC=OA，△ABC的面积为32．点D为AO中点，过点D的直线l平行于x轴．动点P在x轴上从点B出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q在y轴上从点A出发以每秒2个单位长度的速度向y轴负半轴运动，设运动时间为t（t＞0）秒，当点P停止运动时点Q同时停止运动．

（1）求点C的坐标．
（2）当点Q在线段AD上时，设△PQD的面积为S，请用含t的式子来表示S．
（3）点E为直线l上一点，是否存在t值使△PQE为等腰直角三角形？若存在求t值并直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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