知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：该方程有两个实数根；
（2）如果抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤-
1
2
之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

难度：中等

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2．（2016•徐汇区二模）如图，抛物线y=
1
2
x2+bx+2与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧）；
（1）求该抛物线的顶点D的坐标；
（2）求四边形CADB的面积．

难度：中等

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3．有四张正面分别标有数字-2，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的函数y=（a+1）x²+ax+1的图象与x轴没有交点，且使关于x的不等式组
x+2≥a
1-x≥2a
有解的概率为．

难度：较易

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4．（2016春•抚州校级月考）如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值及点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标．

难度：中等

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5．（2016•吉林校级一模）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过C作CD∥x轴，与抛物线交于点D．若OA=1，CD=4，则线段AB的长为．

难度：中等

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6．（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=
4
3
，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．

难度：中等

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7．（2016•通州区一模）已知二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数y=x²+mx+n的图象在点B，C之间的部分（包含点B，C）记为图象G．已知直线l：y=kx+b经过点M（2，3），且直线l总位于图象的上方，请直接写出b的取值范围；
（3）如果点P（x₁，c）和点Q（x₂，c）在函数y=x²+mx+n的图象上，且x₁＜x₂，PQ=2a．求x₁²-ax₂+6a+1的值．

难度：中等

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8．（2016•拱墅区一模）己知常数a（a是常数）满足下面两个条件：
①二次函数y₁=-
1
3
（x+4）（x-5a-7）的图象与x轴的两个交点于坐标原点的两侧；
②一次函数y₂=ax+2的图象在一、二、四象限；
（1）求整数a的值；
（2）在所给直角坐标系中分别画出y₁、y₂的图象，并求当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围．

难度：中等

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9．若二次函数y=ax²+3x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围是．

难度：中等

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10．若m、n（m＜n）是关于x的方程（x-a）（x-b）+2=0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系用“＜”连接的结果是．

难度：中等

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