凸六边形\(ABCDEF\)中，若其各内角均相等，则称其为等内角六边形．

\((1)\)如图一，等内角六边形\(ABCDEF\)中，\(AF=2\)，\(AB=4\)，\(BC=3\)，\(CD=1\)，直接写出\(DE\)，\(EF\) 的长．

\((2)\)如图二，在\((1)\)的条件下，若\(M\)，\(N\)分别为边\(AF\)，\(AB\)的中点，连接\(CM\)，\(DN\)，交于点\(G.\)    求\( \dfrac{MG}{GC} \)的值．

\((3)\)如图三，六边形\(ABCDEF\)中，三组对边分别平行，且\(DE—AB=BC—EF=AF—CD > 0\)，

    证明此六边形是等内角六边形。

如图\(1\)，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

\((1)\)概念理解：如图\(2\)，在四边形\(ABCD\)中，\(AB=AD\)，\(CB=CD\)，问四边形\(ABCD\)是垂美四边形吗？请说明理由．

\((2)\)性质探究：试探索垂美四边形\(ABCD\)两组对边\(AB\)，\(CD\)与\(BC\)，\(AD\)之间的数量关系．

猜想结论：\((\)要求用文字语言叙述\()\)　　　　　　

写出证明过程\((\)先画出图形，写出已知、求证\()\)．

\((3)\)问题解决：如图\(3\)，分别以\(Rt\triangle ACB\)的直角边\(AC\)和斜边\(AB\)为边向外作正方形\(ACFG\)和正方形\(ABDE\)，连接\(CE\)，\(BG\)，\(GE\)，已知\(AC=4\)，\(AB=5\)，求\(GE\)长．

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”\(.\)如图\((1)\)、图\((2)\)、图\((3)\)中，\(AM\)、\(BN\)是\(\triangle \)\(ABC\)的中线，\(AM\)\(⊥\)\(BN\)于点\(P\)，像\(\triangle \)\(ABC\)这样的三角形均为“中垂三角形”\(.\)设\(BC\)\(=\)\(a\)，\(AC\)\(=\)\(b\)，\(AB\)\(=\)\(c\)．

【特例探究】

\((1)\)如图\(1\)，当\(\tan ∠\)\(PAB\)\(=1\)，\(c=4\sqrt{{2}}\)时，\(a\)\(=\)         ，\(b\)\(=\)       ；

如图\(2\)，当\(∠\)\(PAB\)\(=30^{\circ}\)，\(c\)\(=2\)时，\(a\)\(=\)          ，\(b\)\(=\)        ；

【归纳证明】

\((2)\)请你观察\((1)\)中的计算结果，猜想\(a\)\({\,\!}^{2}\)、\(b\)\({\,\!}^{2}\)、\(c\)\({\,\!}^{2}\)三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图\(3\)证明你的结论．

【拓展证明】

\((3)\)如图\(4\)，平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)、\(F\)分别是\(AD\)、\(BC\)的三等分点，且\(AD\)\(=3\)\(AE\)，\(BC\)\(=3\)\(BF\)，连接\(AF\)、\(BE\)、\(CE\)，且\(BE\)\(⊥\)\(CE\)于\(E\)，\(AF\)与\(BE\)相交点\(G\)，\(AD\)\(=3\sqrt{{5}}\)，\(AB\)\(=3\)，求\(AF\)的长．