知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•宁波模拟）如图，矩形ABCD的边长是常量，点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10；当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4．
（1）设AD=a，AB=b，点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，用含a，b，t的式子表示S；
（2）求a和b的值；
（3）求运动时间为0.5秒时，△ABE的面积．

难度：中等

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2．在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=3
2
，CD=2，求AG的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．

难度：中等

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3．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．
（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B的长）？

难度：中等

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4．（2016•宜春模拟）如图，在▱ABCD中，AB=7，BC=5，sinB=
4
5
，将▱ABCD折叠，使点A落在点C上，点D的对应点为H，折痕为EF．
（1）点P是EF上一个动点，则△APD周长的最小值是；
（2）求证：△BCE≌△HCF；
（3）求△CEF的面积．

难度：较难

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5．（2016•长春模拟）如图，四边形ABCD数菱形，AB边上的高DE长为4cm，AE=3cm，动点P从点E出发，沿折线E-B-C向终点D运动，运动速度为1cm/s．点P、Q同时出发，当其中的一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）
（1）求线段BE的长度；
（2）当点P与点B重合时，求点Q到AB的距离；
（3）设△APQ的面积为Scm²．当点P在BC边上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出△DEQ为等腰三角形时t的值．

难度：中等

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6．问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．
独立思考：
（1）AE= cm，△FDM的周长为 cm；
（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：
如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：
①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．
②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．

难度：中等

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7．（2016•长春模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=12cm，D为BC边中点．DE⊥BC交边AB于点E．点P从点E出发．以1cm/s的速度沿ED向终点D运动．同时点Q从点E出发，以
2
cm/s的速度沿EA向终点A运动．以PQ为边在∠AED的内部作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²）．点P的运动时间为t（s）．
（1）点Q到直线DE的距离为．（用含t的代数式表示）
（2）求正方形顶点M落在AC边上时t的值．
（3）求S与t的函数关系式．
（4）直接写出整个运动过程中线段QM所扫过的面积．

难度：中等

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8．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．
（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是，位置关系是；
（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；
（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．

难度：中等

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9．如图①，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），将矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，直线y=kx+b经过点G（4，0），交y轴于点H．
（1）点D、E的坐标分别为．
（2）当直线GH经过EF中点K时，如图②，动点P从点C出发，沿着折线C-B-D以每秒1个单位速度向终点D运动，连结PH、PG，设点P运动的时间为t（秒），△PGH的面积为S（平方单位）．
①求直线GH所对应的函数关系式．
②求S与t之间的函数关系式．
（3）当直线GH经过点E时，如图③，点Q是射线B-D-E-F上的点，过点Q作QM⊥GH于点M，作QN⊥x轴于点N，当△QMN为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．

难度：中等

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10．（2015•冷水江市校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同速度运动，点N到达点C时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为保值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG能在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

难度：中等

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