知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

如图，将一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是\(1∶2\)，其中小正六边形的边长为\((x^{2}-4)cm\)，大正六边形的边长为\((x^{2}+2x)cm(\)其中\(x > 0).\)求这根铁丝的总长．

难度：中等

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2．如图，已知线段\(a\)，直线\(AB\)与直线\(CD\)垂直，且相交于点\(O\)，利用尺规按下列要求作图\(.(\)不写做法，只保留痕迹\()\)

\((1)\)在射线\(OA\)，\(OC\)，\(OD\)，上作线段\(OA′\)，\(OC′\)，\(OD′\)，使它们分别与线段\(a\)相等\(;\)在射线\(OB\)上作线段\(OB′\)，使得\(OB′=2a\)．

\((2)\)连接\(A′C′\)，\(C′B′\)，\(B′D′\)，\(D′A′\)，得到的这个图形的面积是多少？

难度：较难

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3．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a=7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？

难度：中等

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4．
问题提出：如何将边长为\(n(n\geqslant 5\)，且\(n\)为整数\()\)的正方形分割为一些\(1×5\)或\(2×3\)的矩形\((a×b\)的矩形指边长分别为\(a\)，\(b\)的矩形\()\)？
问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．
探究一：
如图\(①\)，当\(n=5\)时，可将正方形分割为五个\(1×5\)的矩形．
如图\(②\)，当\(n=6\)时，可将正方形分割为六个\(2×3\)的矩形．
如图\(③\)，当\(n=7\)时，可将正方形分割为五个\(1×5\)的矩形和四个\(2×3\)的矩形
如图\(④\)，当\(n=8\)时，可将正方形分割为八个\(1×5\)的矩形和四个\(2×3\)的矩形
如图\(⑤\)，当\(n=9\)时，可将正方形分割为九个\(1×5\)的矩形和六个\(2×3\)的矩形

探究二：
当\(n=10\)，\(11\)，\(12\)，\(13\)，\(14\)时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当\(n=10\)，\(11\)，\(12\)，\(13\)，\(14\)时，均可将正方形分割为一个\(5×5\)的正方形、一个\((n-5\)　\()×(\)　\(n-5\)　\()\)的正方形和两个\(5×(n-5)\)的矩形\(.\)显然，\(5×5\)的正方形和\(5×(n-5)\)的矩形均可分割为\(1×5\)的矩形，而\((n-5)×(n-5)\)的正方形是边长分别为\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)　的正方形，用探究一的方法可分割为一些\(1×5\)或\(2×3\)的矩形．
探究三：
当\(n=15\)，\(16\)，\(17\)，\(18\)，\(19\)时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为\(18\)，\(19\)的正方形分割示意图．
所以，当\(n=15\)，\(16\)，\(17\)，\(18\)，\(19\)时，均可将正方形分割为一个\(10×10\)的正方形、一个\((n-10\)　\()×(n-10)\)的正方形和两个\(10×(n-10)\)的矩形\(.\)显然，\(10×10\)的正方形和\(10×(n-10)\)的矩形均可分割为\(1x5\)的矩形，而\((n-10)×(n-10)\)的正方形又是边长分别为\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)的正方形，用探究一的方法可分割为一些\(1×5\)或\(2×3\)的矩形．
问题解决：如何将边长为\(n(n\geqslant 5\)，且\(n\)为整数\()\)的正方形分割为一些\(1×5\)或\(2×3\)的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．
实际应用：如何将边长为\(61\)的正方形分割为一些\(1×5\)或\(2×3\)的矩形？\((\)只需按照探究三的方法画出分割示意图即可\()\)

难度：较易

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5．
有\(10\)个边长为\(1\)的正方形，排列形式如下左图\(.\)请在左图中把它们分割，使之拼接成一个大正方形，并把分割后的图形画在右图的正方形网格中\(.(\)正方形网格中的每个小正方形边长都是\(1\)，每个小格顶点为格点，要求以格点为顶点画大正方形\()\)

难度：较易

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6．
如下图，在 \(\triangle \) \(ABC\)中，分别以 \(AB\)、 \(AC\)、 \(BC\)为边在 \(BC\)的同侧作等边 \(\triangle \) \(ABD\)，等边 \(\triangle \) \(ACE\)、等边 \(\triangle \) \(BCF\)．
\((1)\)求证：四边形\(DAEF\)是平行四边形；

\((2)\)探究下列问题：\((\)只填满足的条件，不需要证明\()\)

\(①\)当\(\triangle \)\(ABC\)满足_______________________条件时，四边形\(DAEF\)是矩形；

\(②\)当\(\triangle \)\(ABC\)满足_______________________条件时，四边形\(DAEF\)是菱形；

\(③\)当\(\triangle \)\(ABC\)满足_______________________条件时，以\(D\)、\(A\)、\(E\)、\(F\)为顶点的四边形不存在．

难度：难

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7．提出问题：如图\(①\)，在四边形\(ABCD\)中，\(P\)是\(AD\)边上任意一点，\(\triangle PBC\)与\(\triangle ABC\)和\(\triangle DBC\)的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
\((1)\)当\(AP= \dfrac {1}{2}AD\)时\((\)如图\(②)\)：

\(∵AP= \dfrac {1}{2}AD\)，\(\triangle ABP\)和\(\triangle ABD\)的高相等，
\(∴S_{\triangle ABP}= \dfrac {1}{2}S_{\triangle ABD}\)．
\(∵PD=AD-AP= \dfrac {1}{2}AD\)，\(\triangle CDP\)和\(\triangle CDA\)的高相等，
\(∴S_{\triangle CDP}= \dfrac {1}{2}S_{\triangle CDA}\)．
\(∴S_{\triangle PBC}=S_{四边形ABCD}-S_{\triangle ABP}-S_{\triangle CDP}\)
\(=S_{四边形ABCD}- \dfrac {1}{2}S_{\triangle ABD}- \dfrac {1}{2}S_{\triangle CDA}\)
\(=S_{四边形ABCD}- \dfrac {1}{2}(S_{四边形ABCD}-S_{\triangle DBC})- \dfrac {1}{2}(S_{四边形ABCD}-S_{\triangle ABC})\)
\(= \dfrac {1}{2}S_{\triangle DBC}+ \dfrac {1}{2}S_{\triangle ABC}\)．
\((2)\)当\(AP= \dfrac {1}{3}AD\)时，探求\(S_{\triangle PBC}\)与\(S_{\triangle ABC}\)和\(S_{\triangle DBC}\)之间的关系，写出求解过程；
\((3)\)当\(AP= \dfrac {1}{6}AD\)时，\(S_{\triangle PBC}\)与\(S_{\triangle ABC}\)和\(S_{\triangle DBC}\)之间的关系式为： ______ ；
\((4)\)一般地，当\(AP= \dfrac {1}{n}AD(n\)表示正整数\()\)时，探求\(S_{\triangle PBC}\)与\(S_{\triangle ABC}\)和\(S_{\triangle DBC}\)之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当\(AP= \dfrac {m}{n}AD(0\leqslant \dfrac {m}{n}\leqslant 1)\)时，\(S_{\triangle PBC}\)与\(S_{\triangle ABC}\)和\(S_{\triangle DBC}\)之间的关系式为： ______ ．

难度：难

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8．
凸六边形\(ABCDEF\)中，若其各内角均相等，则称其为等内角六边形．

\((1)\)如图一，等内角六边形\(ABCDEF\)中，\(AF=2\)，\(AB=4\)，\(BC=3\)，\(CD=1\)，直接写出\(DE\)，\(EF\) 的长．

\((2)\)如图二，在\((1)\)的条件下，若\(M\)，\(N\)分别为边\(AF\)，\(AB\)的中点，连接\(CM\)，\(DN\)，交于点\(G.\) 求\( \dfrac{MG}{GC} \)的值．

\((3)\)如图三，六边形\(ABCDEF\)中，三组对边分别平行，且\(DE—AB=BC—EF=AF—CD > 0\)，

证明此六边形是等内角六边形。

难度：难

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9．（2016•南京二模）如图①，四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则四边形ABCD称为筝形，根据筝形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，请你在图②中画出筝形的大致区域，并用阴影表示．

难度：中等

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10．在A，B，C，D四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为：
A：内角和等于外角和的一半的正多边形；B：一个内角为108°的正多边形；
C：对角线互相平分且相等的四边形；D：每个外角都是36°的多边形．
（1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；
（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利用树状图或列表来求解）？

难度：中等

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