知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点\(D\)，\(E\)在\(BC\)边上，\(AD=AE\)．求证：\(BD=CE\)．

难度：较易

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2．

如图，分别以\(Rt\triangle ABC\)的直角边\(AC\)及斜边\(AB\)向外作等边三角形\(ACD\)及等边三角形\(ABE.\)已知\(∠BAC = 30º\)，\(EF⊥AB\)于点 \(F\)，连接 \(DF\)．

\((1)\)求证：\(AC=EF\)；

\((2)\)求证：四边形 \(ADFE\)是平行四边形．

难度：中等

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3．

已知：如图，四边形\(ABCD\)中，\(∠ABC=∠ADC=90{}^\circ \)，\(AB=AD\)．

\((1)\)求证：\(BC= CD\)；

\((2)\)若\(∠A=60{}^\circ \)，将线段\(BC\)绕着点\(B\)逆时针旋转\(60{}^\circ \)，得到线段\(BE\)，连接\(DE\)，在图中补全图形，并证明四边形\(BCDE\)是菱形．

难度：中等

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4．

\(\triangle ACB\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，以点\(A\)为中心，分别将线段\(AB\)，\(AC\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)得到线段\(AD\)，\(AE\)，连接\(DE\)，延长\(DE\)交\(CB\)于点\(F\)．

\((1)\)如图\(1\)，若\(∠B=30^{\circ}\)，\(∠CFE\)的度数为_______；

\((2)\)如图\(2\)，当\(30^{\circ} < ∠B < 60^{\circ}\)时，

\(①\)依题意补全图\(2\)；

\(②\)猜想\(CF\)与\(AC\)的数量关系，并加以证明．

难度：较难

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5．
如图\(1\)，在平面直角坐标系中，\(O\)为坐标原点，点\(A\)的坐标为\((-8,0)\)，直线\(BC\)经过点\(B(-8,6)\)，\(C(0,6)\)，将四边形\(OABC\)绕点\(O\)按顺时针方向旋转\(α\)度得到四边形\(OA′B′C′\)，此时直线\(OA′\)、\(B′C′\)分别与直线\(BC\)相交于\(P\)、\(Q\)．
\((1)\)四边形\(OA′B′C′\)的形状是 ______ ，当\(α=90^{\circ}\)时，\( \dfrac {BP}{BQ}\)的值是 ______ ；
\((2)①\)如图\(2\)，当四边形\(OA′B′C′\)的顶点\(B′\)落在\(y\)轴正半轴上时，求\( \dfrac {BP}{BQ}\)的值；
\(②\)如图\(3\)，当四边形\(OA′B′C′\)的顶点\(B′\)落在直线\(BC\)上时，求\(\triangle OPB′\)的面积；
\((3)\)在四边形\(OABC\)旋转过程中，当\(0^{\circ} < α\leqslant 180^{\circ}\)时，是否存在这样的点\(P\)和点\(Q\)，使\(BP= \dfrac {1}{2}BQ\)？若存在，请直接写出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．
如图，四边形\(ABCD\)是矩形，点\(E\)在\(AD\)边上，点\(F\)在\(AD\)的延长线上，且\(BE=CF\)．

\((1)\)求证：四边形\(EBCF\) 是平行四边形．

\((2)\)若\(\angle BEC=90{}^\circ \)，\(\angle ABE=30{}^\circ \)，\(AB=\sqrt{3}\)，求\(ED\)的长．

难度：中等

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7．

如图，在菱形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)延长线上一点，连接\(AE\)，使得\(∠B=∠E\)，过\(D\)作\(DH⊥AE\)于\(H\)．

\((1)\)若\(AB=10\)，\(DH=6\)，求\(HE\)的长；

\((2)\)求证：\(AH=CE+EH\)．

难度：难

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8．
数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：
    作法：如图，\(①\)在\(OA\)和\(OB\)上分别截取\(OD\)，\(OE\)，使\(OD=OE\)；
    \(②\)分别以点\(D\)和点\(E\)为圆心，大于\(\dfrac{{1}}{{2}}DE\)的长为半径作圆弧，两弧在\(∠AOB\)内交于点\(C\)；
    \(③\)作射线\(OC.OC\)就是\(∠AOB\)的平分线．
    小聪只带了三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
    步骤：如图，\(①\)利用三角板上的刻度，在\(OA\)和\(OB\)上分别截取\(OM\)，\(ON\)，使\(OM=ON\)；
    \(②\)分别过点\(M\)，\(N\)作\(OM\)，\(ON\)的垂线，交于点\(P\)；
    \(③\)作射线\(OP.\)则\(OP\)为\(∠AOB\)的平分线．
    小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
    根据以上情境，解决下列问题：
    \((1)\)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________；
    \((2)\)小聪的作法正确吗？请说明理由；
    \((3)\)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法\(.(\)要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明\()\)

难度：中等

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9．
如图，\(G\)为\(BC\)的中点，且\(DG⊥BC\)，\(DE⊥AB\)于\(E\)，\(DF⊥AC\)于\(F\)，\(BE=CF\)．

\((1)\)求证：\(AD\)是\(∠BAC\)的平分线；

\((2)\)如果\(AB=8\)，\(AC=6\)，求\(AE\)的长．

难度：难

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10．
如图\(1\)，图\(2\)中，正方形\(ABCD\)的边长为\(6\)，点\(P\)从点\(B\)出发沿边\(BC—CD\)以每秒\(2\)个单位长的速度向点\(D\)匀速运动，以\(BP\)为边作等边三角形\(BPQ\)，使点\(Q\)在正方形\(ABCD\)内或边上，当点\(Q\)恰好运动到\(AD\)边上时，点\(P\)停止运动。设运动时间为\(t\)秒\((t\geqslant 0)\)。

\((1)\)当\(t=2\)时，点\(Q\)到\(BC\)的距离\(=\)_____；

\((2)\)当点\(P\)在\(BC\)边上运动时，求\(CQ\)的最小值及此时\(t\)的值；

\((3)\)若点\(Q\)在\(AD\)边上时，如图\(2\)，求出\(t\)的值；

\((4)\)直接写出点\(Q\)运动路线的长。

难度：难

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