知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•武汉校级月考）已知：如图，在等腰三角形ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC于点D．以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M．
（1）求证：∠FEA=∠FCA；
（2）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．

难度：中等

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2．如图1，点P是线段AB上的动点（P不与A、B重合），分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作等边△APC和等边△BPD，AD和BC交于点M．
（1）求证：AD=BC；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α（α＜60°），如图2所示，在旋转过程中，∠AMC的度数是否与α的大小有关？证明你的结论．

难度：中等

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3．如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC到E，使CE=CD．问：
（1）DB与DE相等吗？
（2）把BD是AC边上的中线改成什么条件，还能得到同样的结论？

难度：中等

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4．如图，△OBC为等边三角形，AD∥BC，AD=3，BC=7，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求证：△APB∽△PEC；
（2）求AB的长；
（3）若CE=3，求BP的长．

难度：中等

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5．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

难度：中等

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6．如图1，等边△ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由．

难度：中等

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7．（2016•吴中区一模）已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AD=AE，AE⊥BE，垂足为E，连结DE．
（1）求证：AB平分∠DAE；
（2）若△ABC是等边三角形，且边长为2cm，求DE的长．

难度：中等

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8．（2016春•榆林校级月考）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，求PE的长．

难度：中等

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9．（2015•市北区二模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在线段BC上（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，EG∥BC，连接BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）判断并证明四边形BCGE的形状．

难度：中等

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10．（2015秋•海南校级期中）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，
连结AP、PD，∠APD=60°．
（1）求证：①△ABP∽△PCD；②AP²=AD•AC；
（2）若PC=2，求CD和AP的长．

难度：中等

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