知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足（a-b）²+
b2-16
=0
（1）求A、B两点的坐标；
（2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO=∠EDA；
（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

难度：较难

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-3与x轴相交于点B、y轴相交于点C，过点B、C的抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于另一点A，顶点为D点．
（1）求tan∠OCA的值；
（2）若点P为抛物线上x轴上方一点，且∠DAP=∠ACB，求点P的坐标；
（3）若点Q为抛物线y=-x²+bx+c对称轴上一动点，试探究当点Q为何位置时∠OQC最大，请求出点P的坐标及sin∠OQC的值．

难度：较难

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3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA在x轴上，点B在第一象限内，AO=4，∠BOA=30°．点C（t，0）是x轴正半轴上一动点（不与O，A重合），△OBC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D．
（1）求点B坐标；
（2）用t的代数式表示OD的长；
（3）在过点O、B、A的抛物线上是否存在点Q，使得以Q为圆心，2为半径的圆与直线OB相切？若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），交y轴于点C（0，3），其顶点M（1，4）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）E为△BCM的外心，试在x轴上确定一点P，使△PCE的周长最短，求P点的坐标．

难度：中等

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5．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x-4分别交x轴、y轴于A，B，交双曲线y=
k
x
（x＜0）于M，连OM，且S_△OBM=16．
（1）求k的值．
（2）过M作MN⊥y轴于N，在直线AB上是否存在点E，使OEN的周长最小？若存在，求E点的坐标；否则说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，P为双曲线上一动点，点Q为PB上一点，且AQ=AB，连MQ，NQ，求证：BQ-MQ=
2
NQ．

难度：较难

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6．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE=CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE=7，CD=6，求EG的长．

难度：中等

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7．已知：AC为⊙O₁的直径，BC为⊙O₂直径，点D为
AC
的中点，点E为
BC
的中点，连接DE，M、N分别为线段AB、DE的中点，连接MN．

（1）如图1，当⊙O₁与⊙O₂外切时，猜想MN与DE的位置关系和数量关系．
（2）如图2，当⊙O₁与⊙O₂相交时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当⊙O₁与⊙O₂内切时，已知⊙O₁的半径为6，⊙O₂的半径为2，点P为DA的延长线上一点，求|PN-PM|的最大值．

难度：中等

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8．如图，O是□ABCD两对角线的交点，线段OB绕着点O顺时针旋转α°（0≤α≤360），B点的对应点为P点，DE⊥PA于E点．
（1）填空：如图1，∠EPD=    °，
PB
AE
=    ；
（2）如图2，若F为PB的中点，连接CF、CE，求∠ECF的度数；
（3）若AB=2，当线段OB绕着O点旋转时，则线段CE长度的最大值为    ．

难度：中等

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9．在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别为点P、Q，设这两个外接圆又交于点M、N．
（a）求证：线段AF、BC相交于点N；
（b）求证：不论点M如何选取，直线MN都通过一定点S；
（c）当点M在点A、B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹．

难度：中等

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10．如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC的中点，点E在AC边上，以DE为腰作等腰Rt△DEF，连接CF，BF．若CE=1，△CDF的面积为7.5，则BF的长为．

难度：较易

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