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          共50条信息

            • 1． 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
              特例探索
              （1）①如图1，当∠ABE=45°，c=2
              		2
              时，a=    ，b=    ；
              ②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值
              归纳证明
              （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
              难度：中等
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            • 2． （2014•张家口二模）（1）如图1、图2，点P是⊙O外一点，作直线OP，交⊙O于点M、N，则有结论：①点M是点P到⊙O的最近点；②点N是点P到⊙O的最远点．
              请你从①和②中选择一个进行证明．
              （注：图1和图2中的虚线为辅助线，可以直接利用）
              （2）如图，已知，点A、B分别是直角∠XOY的两边上的动点，并且线段AB=4，如果点T是线段AB的中点，则线段TO的长等于    ，所以，当点A和B在直角∠XOY的两边上运动时，点O一定在以点    为圆心，以线段    为直径的圆上．
              （3）如图，△ABC的等边三角形，AB=4，直角∠XOY的两边OX，OY分别经过点A和点B（点O与点A、点B都不重合），连接OC，求OC的最大值与最小值．
              （4）如图，在直角坐标系xOy中，点A、B分别是x轴与y轴上的动点，并且线段AB等于4为一定值．以AB为边作正方形ABCD，连接OC，则OC的最大值与最小值的乘积等于    ．
              难度：较难
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            • 3． 两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，∠BAC=∠EDF=30°，AC=DF=2．△ABC固定不动，将△DEF沿AC平移（点D在线段AC上移动）．
              （1）猜想与证明：如图①，当点D为AC的中点时，请你猜想四边形BDCE的性状，并证明结论；
              （2）思考与验证：如图②，连接BD，BE，CE，四边形BDCE的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由；
              （3）操作与计算：如图③，当点D为AC的中点时，将点D固定，然后再将△DEF绕点D顺时针旋转60°，若点P为线段AC延长线上一动点，求PE+PF的最小值．
              难度：较难
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            • 4． （1）如图1，等边三角形ABC与等边△MDE，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，猜想DF与EN的数量关系．
              （2）如图2，等腰△ABC与等腰△MDEE，MD=ME，CA=CB，∠DME=∠ACB，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，DF与EN的关系还成立吗？并说明理由．
              （3）如图3，等腰直角△ABC与等腰直角△MDE，∠MDE=∠CAB=90°，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，试探究
              DF
              EN
              的值．
              （4）如图4，任意△ABC与△MDE，∠DME=∠ACB，ME=mDM，BC=mAC，点M、N、F分别是AB、AC、BC的中点，点D在直线BC上，直接写出
              DF
              EN
              的值．
              难度：中等
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            • 5． 在矩形ABCD中AB=4，BC=6，点M为AD上一动点，连BM．
              （1）如图1，作MN⊥BM交CD于N时，连BN，当DN最长时，证明：∠ABM=∠MBN；
              （2）如图2，过点C作CP⊥BM于P点，将CP绕点C逆时针转90°到CQ，若点Q在AD延长线上时，求证：BM2=AB•BC；
              （3）如图3，直接写出△MBC内切圆的半径的最大值．
              难度：较难
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            • 6． △ABC中，AB=AC．将△ABC绕C点旋转至△A′B′C，连BB′，以AB、BB′为邻边作▱ABB′D，连A′D．
              （1）旋转后B、C、A′在一条直线上．如图1，若∠BAC=60°，则∠ADA′=    ；如图2，若∠BAC=90°，则∠ADA′=    ； 
              （2）如图3，旋转后B、C、A′在一条直线上．若∠BAC=α，则∠ADA′=    （用含α的式子表示）；
              （3）分别将图1与图2中的△A′B′C继续旋转至图4、图5，使B、C、A′不在一条直线上，连AA′，则图4中，△ADA′的形状是    ；图5中，△ADA′的形状是    ．请你任选其中一个结论证明．
              难度：较难
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            • 7． 在图（1）中画出三条线段，长度分别为：
              		2
              ，
              		5
              ，
              		13
              ．
              （1）在图（2）中把△ABC绕着点A顺时针旋转270°，变成△AB1C1，求：①B，B1两点之间的距离；②B到B1所经过的路程．
              （2）图（3）是由五个边长为1的正方形组成的，请剪两刀再拼成正方形，画出分割线，及拼成正方形．
              难度：中等
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            • 8． 已知：点A、B分别是直线m、n上两点，在直线n上找一点C，使BC=AB，连接AC，在线段AC上取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．
              （1）当∠ABC=60°时（如图1），求证：AE+AF=BC；
              （2）当∠ABC=90°时（如图2），则AE、AF、BC之间的数量关系是    ；
              （3）当∠ABC=120°时（如图3），设EF与AB交于点M，若AC=4
              		3
              ，AF=1，求EM的长．
              难度：难
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