知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图\(1\)，在矩形\(ABCD\)中，\(AD=4\)，\(AB=2 \sqrt {3}\)，将矩形\(ABCD\)绕点\(A\)逆时针旋转\(α(0 < α < 90^{\circ})\)得到矩形\(AEFG.\)延长\(CB\)与\(EF\)交于点\(H\)．

\((1)\)求证：\(BH=EH\)；
\((2)\)如图\(2\)，当点\(G\)落在线段\(BC\)上时，求点\(B\)经过的路径长．

难度：较易

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2．
阅读：如图\(1\)把两块全等的含\(45^{\circ}\)的直角三角板\(ABC\)和\(DEF\)叠放在一起，使三角板\(DEF\)的锐角顶点\(D\)与三角板\(ABC\)的斜边中点\(O\)重合，把三角板\(ABC\)固定不动，让三角板\(DEF\)绕点\(D\)旋转，两边分别与线段\(AB\)、\(BC\)相交于点\(P\)、\(Q\)，易说明\(\triangle APD\)∽\(\triangle CDQ\)．
猜想\((1)\)：如图\(2\)，将含\(30^{\circ}\)的三角板\(DEF(\)其中\(∠EDF=30^{\circ})\)的锐角顶点\(D\)与等腰三角形\(ABC(\)其中\(∠ABC=120^{\circ})\)的底边中点\(O\)重合，两边分别与线段\(AB\)、\(BC\)相交于点\(P\)、\(Q.\)写出图中的相似三角形 ______ \((\)直接填在横线上\()\)；
验证\((2)\)：其它条件不变，将三角板\(DEF\)旋转至两边分别与线段\(AB\)的延长线、边\(BC\)相交于点\(P\)、\(Q.\)上述结论还成立吗？请你在图\(3\)上补全图形，并说明理由．
探究\((3)\)：根据\((1)(2)\)的解答过程，请你将两三角板改为一个更为一般的条件，使得猜想\((1)\)成立？

难度：中等

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3．
如图，\(\triangle ABC\)，\(∠C=90^{\circ}\)，将\(\triangle ABC\)绕点\(B\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)，点\(A\)、\(C\)旋转后的对应点为\(A′\)、\(C′\)．
\((1)\)画出旋转后的\(\triangle A′BC′\)；
\((2)\)若\(AC=3\)，\(BC=4\)，求\(C′C\)的长；
\((3)\)求出在\(\triangle ABC\)旋转的过程中，点\(A\)经过的路径长\(.(\)结果保留\(π)\)

难度：较易

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4．
如图\(①\)，在\(\triangle ABC\)中，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(E\)在\(AC\)上\((\)且不与点\(A\)，\(C\)重合\()\)，在\(\triangle ABC\)的外部作\(\triangle CED\)，使\(∠CED=90^{\circ}\)，\(DE=CE\)，连接\(AD\)，分别以\(AB\)，\(AD\)为邻边作平行四边形\(ABFD\)，连接\(AF\)．
\((1)\)请直接写出线段\(AF\)，\(AE\)的数量关系______；
\((2)\)将\(\triangle CED\)绕点\(C\)逆时针旋转，当点\(E\)在线段\(BC\)上时，如图\(②\)，连接\(AE\)，请判断线段\(AF\)，\(AE\)的数量关系，并证明你的结论．

难度：较易

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5．
如图\(1\)，放置的一副三角尺，将含\(45^{\circ}\)角的三角尺斜边中点\(O\)为旋转中心，逆时针旋转\(30^{\circ}\)得到如图\(2\)，连接\(OB\)、\(OD\)、\(AD\)．
\((1)\)求证：\(\triangle AOB\)≌\(\triangle AOD\)；
\((2)\)试判定四边形\(ABOD\)是什么四边形，并说明理由．

难度：较易

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6．

已知，\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AC=BC\)，点\(D\)为\(BC\)边上的一点．

\((1)\)以点\(C\)为旋转中心，将\(\triangle ACD\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)，得到\(\triangle BCE\)，请你画出旋转后的图形；

\((2)\)延长\(AD\)交\(BE\)于点\(F\)，求证：\(AF⊥BE\)；

\((3)\)若\(AC=\sqrt{5}\)，\(BF=1\)，连接\(CF\)，则\(CF\)的长度为_____________．

难度：较难

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7．
已知如图，\(\triangle ADC\)和\(\triangle BDE\)均为等腰三角形，\(∠CAD=∠DBE\)，\(AC=AD\)，\(BD=BE\)，连接\(CE\)，点\(G\)为\(CE\)的中点，过点\(E\)作\(AC\)的平行线与线段\(AG\)延长线交于点\(F\)．
\((1)\)当\(A\)，\(D\)，\(B\)三点在同一直线上时\((\)如图\(1)\)，求证：\(G\)为\(AF\)的中点；
\((2)\)将图\(1\)中\(\triangle BDE\)绕点\(D\)旋转到图\(2\)位置时，点\(A\)，\(D\)，\(G\)，\(F\)在同一直线上，点\(H\)在线段\(AF\)的延长线上，且\(EF=EH\)，连接\(AB\)，\(BH\)，试判断\(\triangle ABH\)的形状，并说明理由．

难度：中等

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8．

如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，每个小正方形的边长都为\(1\)，\(\triangle DEF\)和\(\triangle ABC\)的顶点都在格点上，回答下列问题：

\((1)\triangle DEF\)可以看作是\(\triangle ABC\)经过若干次图形的变化\((\)平移、轴对称、旋转\()\)得到的，写出一种由\(\triangle ABC\)得到\(\triangle DEF\)的过程：_____________________；

\((2)\)画出\(\triangle ABC\)绕点\(B\)逆时针旋转\(90º\)的图形\(\triangle A′BC′\)；

\((3)\)在\((2)\)中，点\(C\)所形成的路径的长度为_______．

难度：中等

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9．

已知：如图，四边形\(ABCD\)中，\(∠ABC=∠ADC=90{}^\circ \)，\(AB=AD\)．

\((1)\)求证：\(BC= CD\)；

\((2)\)若\(∠A=60{}^\circ \)，将线段\(BC\)绕着点\(B\)逆时针旋转\(60{}^\circ \)，得到线段\(BE\)，连接\(DE\)，在图中补全图形，并证明四边形\(BCDE\)是菱形．

难度：中等

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10．
如图\(1\)，在等边\(\triangle ABC\)中，点\(D\)，\(E\)分别在边\(AB\)，\(AC\)上，\(AD=AE\)，连接\(BE\)，\(CD\)，点\(M\)、\(N\)、\(P\)分别是\(BE\)、\(CD\)、\(BC\)的中点．
\((1)\)观察猜想：图\(1\)中，\(\triangle PMN\)的形状是 ______ ；　
\((2)\)探究证明：把\(\triangle ADE\)绕点\(A\)逆时针方向旋转到图\(2\)的位置，\(\triangle PMN\)的形状是否发生改变？并说明理由；　
\((3)\)拓展延伸：把\(\triangle ADE\)绕点\(A\)在平面内自由旋转，若\(AD=1\)，\(AB=3\)，请直接写出\(\triangle PMN\)的周长的最大值．

难度：较易

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