知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用a_i和b_i，分别表示第i（I=1，2，3…18）支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：a₁²+a₂²+…+a₁₈²=b₁²+b₂²+…+b₁₈²．

难度：中等

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2．设a、b、c是互不相等的实数．求证：
a4
(a-b)(a-c)
+
b4
(b-c)(b-a)
+
c4
(c-a)(c-b)
＞0．

难度：中等

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3．已知
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
a+b+c
，求证：n为奇数时，
1
an
+
1
bn
+
1
cn
=
1
an+bn+cn
．

难度：较难

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4．已知
a
b-c
+
b
c-a
+
c
a-b
=0，求证：
a
(b-c)2
+
b
(c-a)2
+
c
(a-b)2
=0．

难度：中等

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5．设a、b、c均为正数，且a+b+c=1，证明：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥9．

难度：较难

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6．求证：
b-c
(a-b(a-c)
+
c-a
(b-c)(b-a)
+
a-b
(c-a)(c-b)
=
2
a-b
+
2
b-c
+
2
c-a
．

难度：中等

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7．已知ax³=by³=cz³，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1．
求证：
3 ax2+by2+cz2
=
3 a
+
3 b
+
3 c
．

难度：中等

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8．证明以下各式：
（1）
a2
(a-b)(a-c)
+
b2
(b-c)(b-a)
+
c2
(c-a)(c-b)
=1；
（2）
n2
m2
+
m2
n2
+2
n3
m3
-
m3
n3
-3(
n
m
-
m
n
)
÷
n
m
+
m
n
n2
m2
-2+
m2
n2
=
n2+m2
n2-m2

难度：中等

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9．已知：1989x²=1991y²=1993z²，x＞0，y＞0，z＞0，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1．
求证：
1989x+1991y+1993z
=
1989
+
1991
+
1993
．

难度：中等

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10．求证：
a2-bc
(a+b)(a+c)
+
b2-ca
(b+c)(b+a)
=
ab-c2
(c+a)(c+b)

难度：较易

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