知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
图\(①\)是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆罔，一共堆了\(n\)层\(.\)将图\(①\)倒置后与原图\(①\)拼成图\(②\)的形状，这样我们可以算出图\(①\)中所有圆圈的个数为\(1+2+3+\cdots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)．

如果图\(③\)和图\(④\)中的圆罔都有\(13\)层．

\((1)\)我们自上往下，在图\(③\)的每个圆圈中填上一串连续的正整数\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(…\)，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；

\((2)\)我们自上往下，在图\(④\)的每个圆圈中填上一串连续的整数\(-23\)，\(-22\)，\(-21\)，\(-20\)，\(…\)，则最底层最右边这个圆圈中的数是________；

\((3)\)求图\(④\)中所有圆圈中各数之和\((\)写出计算过程\()\)．

难度：难

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2．
若我们规定三角“”表示为：\(abc\)；方框“”表示为：\((x^{m}+y^{n}).\)例如：\(=1×19×3÷(2^{4}+3^{1})=3.\)请根据这个规定解答下列问题：

\((1)\)计算：\(=\)_____；

\((2)\)代数式为完全平方式，则\(k=\)_____；

\((3)\)解方程：\(=6x^{2}+7\)．

难度：难

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3．
已知，\((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\)，求

\((1)(2-1)(2+1)=\)________；

\((2)(2+1)(2^{2}+1)=\)________；

\((3)\)求\((2+1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)…(2^{32}+1)\)的值．

难度：难

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4．
已知\(4a^{2}-4ab+2b^{2}-4b+4=0\)，试求\(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{(a+1)(b+1)}+\dfrac{1}{(a+2)(b+2)}+\cdots +\dfrac{1}{(a+2009)(b+2009)}\)的值

难度：难

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5．
小明与小刚规定了一种新运算\(\triangle \)：\(a\triangle b=3a-2b.\)小明计算出\(2\triangle 5=-4\)，请你帮小刚计算\(2\triangle (-5)=\) ______ ．

难度：难

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6．

按下面的程序计算：

如果输入\(x\)的值是正整数，输出结果是\(150\)，那么满足条件的\(x\)的值有______个．

难度：难

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7．甲用\(1000\)元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利\(10\%\)，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了\(10\%.\)最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙\(.\)甲在上述股票交易中\((\)　　\()\)

A．不赚不赔

B．盈利\(1\)元

C．盈利\(9\)元

D．亏本\(1.1\)元

难度：难

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8．

阅读材料：求\(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{20}\)的值．

解：设\(S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{20}\)， \(①\)

将等式两边同时乘以\(2\)得：

\(2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+…+2^{21\;\;\;\;\;\;}②\)

将\(②\)式减去\(①\)式得\(2S-S=2^{21}-1\)

即\(S=2^{21}-1\)

所以 \(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{20}=2^{21}-1\)

请你仿照此法计算：

\((1)1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2017}=\)_____________

\((2)1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{n\;\;}=\)______________\((\)其中\(n\)为正整数\()\)

\((3)\)求\(1+5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+…+5^{2017}\)的值。

难度：难

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9．

\(∑\)表示数学中的求和符号，主要用于求多个数的和，\(∑\)下面的小字，\(i\)\(=1\)表示从\(1\)开始求和\(;\)上面的小字，如\(n\)表示求和到\(n\)为止\(.\)即\( \sum\limits_{i=1}^{n}\;{x}_{i}={x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+⋯+{x}_{n} .\)则\( \sum\limits_{i=1}^{n}\;{x}_{i}(i{\;}^{2}−1) \)表示( )

A．\(n\)\({\,\!}^{2}-1\)

B．\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+\) \(i\)\({\,\!}^{2}-\) \(i\)

C．\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+\) \(n\)\({\,\!}^{2}-1\)

D．\(1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+\) \(n\)\({\,\!}^{2}-(1+2+3+…+ \)\(n\)\()\)

难度：难

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10．
如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如\( \dfrac{1}{1}= \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{2} \)，\( \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{6} \)，\( \dfrac{1}{3}= \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{12} \)，则第\(7\)行第\(4\)个数\((\)从左往右数\()\)为________。

难度：难

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