知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知，等边三角形\(ABC\)的边长为\(5\)，点\(P\)在线段\(AB\)上，点\(D\)在线段\(BC\)上，且\(\triangle PDE\)是等边三角形．
\((1)\)初步尝试：若点\(P\)与点\(A\)重合时\((\)如图\(1)\)，\(BD+BE=\)______．
\((2)\)类比探究：将点\(P\)沿\(AB\)方向移动，使\(AP=1\)，其余条件不变\((\)如图\(2)\)，试计算\(BD+BE\)的值是多少？
\((3)\)拓展迁移：如图\(3\)，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(∠BAC=70^{\circ}\)，点\(P\)在线段\(AB\)的延长线上，点\(D\)在线段\(CB\)的延长线上，在\(\triangle PDE\)中，\(PD=PE\)，\(∠DPE=70^{\circ}\)，设\(BP=a\)，请直接写出线段\(BD\)、\(BE\)之间的数量关系\((\)用含\(a\)的式子表示\()\)

难度：难

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3．
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为\(20\)尺，底面周长为\(3\)尺，有葛藤自点\(A\)处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点\(B\)处，则问题中葛藤的最短长度是 ______ 尺\(.\)

难度：难

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4．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(AB=6cm\)，\(AC=4 \sqrt {2}cm\)，\(BC=2 \sqrt {5}cm\)，点\(P\)以\(1cm/s\)的速度从点\(B\)出发沿边\(BA→AC\)运动到点\(C\)停止，运动时间为\(t s\)，点\(Q\)是线段\(BP\)的中点．
\((1)\)若\(CP⊥AB\)时，求\(t\)的值；
\((2)\)若\(\triangle BCQ\)是直角三角形时，求\(t\)的值；
\((3)\)设\(\triangle CPQ\)的面积为\(S\)，求\(S\)与\(t\)的关系式，并写出\(t\)的取值范围．

难度：中等

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5．
问题呈现
如图\(1\)，在边长为\(1\)的正方形网格中，连接格点\(D\)，\(N\)和\(E\)，\(C\)，\(DN\)和\(EC\)相交于点\(P\)，求\(\tan ∠CPN\)的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出\((\)或构造出\()\)一个直角三角形\(.\)观察发现问题中\(∠CPN\)不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点\(M\)，\(N\)，可得\(MN/\!/EC\)，则\(∠DNM=∠CPN\)，连接\(DM\)，那么\(∠CPN\)就变换到\(Rt\triangle DMN\)中．
问题解决
\((1)\)直接写出图\(1\)中\(\tan ∠CPN\)的值为 ______ ；
\((2)\)如图\(2\)，在边长为\(1\)的正方形网格中，\(AN\)与\(CM\)相交于点\(P\)，求\(\cos ∠CPN\)的值；
思维拓展
\((3)\)如图\(3\)，\(AB⊥BC\)，\(AB=4BC\)，点\(M\)在\(AB\)上，且\(AM=BC\)，延长\(CB\)到\(N\)，使\(BN=2BC\)，连接\(AN\)交\(CM\)的延长线于点\(P\)，用上述方法构造网格求\(∠CPN\)的度数．

难度：中等

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6．
如图，圆柱形玻璃杯高为\(14cm\)，底面周长为\(32cm\)，在杯内壁离杯底\(5cm\)的点\(B\)处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿\(3cm\)与蜂蜜相对的点\(A\)处，则蚂蚁从外壁\(A\)处到内壁\(B\)处的最短距离为 ______ \(cm(\)杯壁厚度不计\()\)．

难度：较易

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7．
已知：\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AB=4 \sqrt {2}\)，将\(AC\)边所在直线向右平移，所得直线\(MN\)与\(BC\)边的延长线相交于点\(M\)，点\(D\)在\(AC\)边上，\(CD=CM\)，过点\(D\)的直线平分\(∠BDC\)，与\(BC\)交于点\(E\)，与直线\(MN\)交于点\(N\)，联接\(AM\)．

\((1)\)若\(CM= \sqrt {3}\)，则\(AM=\) ______ ；
\((2)\)如图\(1\)，若点\(E\)是\(BM\)的中点，求证：\(MN=AM\)；
\((3)\)如图\(2\)，若点\(N\)落在\(BA\)的延长线上，求\(AM\)的长．

难度：中等

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8．
如图\(①\)，在等边三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(AB\)边上的动点，以\(CD\)为一边，向上作等边三角形\(EDC\)，连接\(AE\)．
\((1)\)求证：\(\triangle DBC\)≌\(\triangle EAC\)．
\((2)\)试说明\(AE/\!/BC\)的理由．
\((3)\)如图\(②\)，当图\(①\)中的点\(D\)运动到边\(BA\)的延长线上时，所作仍为等边三角形\(.\)猜想是否仍有\(AE/\!/BC\)？若成立请证明．

难度：中等

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9．
用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段\(a\)，\(b\)，求作：线段\(AB\)，使\(AB=2b-a\)．

难度：易

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