知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知抛物线y=
1
3
x²+
2
3
x-
8
3
与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，点E在线段AB上，且AE：EB=1：2．
（1）请直接写出点A、B、D、E的坐标；
（2）作直线AD，将直线AD绕点A按逆时针方向旋转α°（0°＜α＜180°），速度为5°/s，旋转到某一时刻，在该直线上存在一点M，使以M、E、B为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点M有且只有三个不同位置，求旋转时间；
（3）连接AC，在x轴上方的抛物线上找一点P，使∠CAP=45°，求点P的坐标．

难度：较难

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2．如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC、BD相交于E，过点E的直线与直线AD、BC分别相交于点H、G．
（1）直线GH在旋转过程中，①△AEH与△CEG的位置关系是：，
②线段AH与CG的大小关系是：；
（2）如图2，以AB为直径作⊙O，若直线GH在旋转过程中与⊙O相切时，求线段AH的长度；
（3）在（2）的结论下，判断以GH为直径的圆与直线AB的位置关系．请直接写出结论．

难度：较难

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3．如图，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若PB：BC=2：3且PC=10，求PA的长．

难度：较易

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4．已知：如图，⊙O与⊙P相交于A、B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P于D、E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．
（1）求证：BC是⊙P的切线；
（2）若CD=2，CB=2
2
，求EF的长．

难度：较难

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5．阅读资料：
如图1，在平面之间坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|²+|y₂-y₁|²，所以A，B两点间的距离为AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
．
我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xoy中，A（x，y）为圆上任意一点，则A到原点的距离的平方为OA²=|x-0|²+|y-0|²，当⊙O的半径为r时，⊙O的方程可写为：x²+y²=r²．
问题拓展：如果圆心坐标为P（a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使tan∠POA=
3
4
，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以Q为圆心，以OQ为半径的⊙O的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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