定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点\((\)非切点\()\)的圆称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
【概念理解】
\((1)\)通过举例加以理解\(.\)如图\(1\)，\(\triangle ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(AB=10\)，\(AC=\dfrac{40}{3}\)，\(∵⊙O\)的圆心\(O\)在\(BC\)边上，与\(AC\)边相切于点\(E\)，并且过顶点\(B\)，\(∴⊙O\)就是\(BC\)边上的一个伴随圆\(.\)并引导同学求该伴随圆半径的思路：
请你根据以上的思路，求出\(BC\)边上的伴随圆的半径\(r\)；
【问题探究】
\((2)\)如图\(2\)，在\((1)\)的条件下，\(C\)点沿直线\(CB\)向左运动到点\(D\)，使得\(AB=AD\)，求此时\(\triangle ABD\)所有的伴随圆的半径；
【拓展应用】
\((3)\)如图\(3\)，在\((1)\)的条件下，作\(D\)关于\(B\)点的对称点\(E\)，得到\(\triangle ABE\)，\(⊙M\)是\(BE\)边上的一种伴随圆，\(FG⊥ED\)，\(H\)是\(⊙M\) 在\(ED\)上半圆上任意一点，\(HJ⊥FG\)于\(J\)，\(HI⊥ED\)于\(I\)，连接\(JI\)，\(K\)是\(JI\)的中点，当\(H\)沿着上半圆周逆时针方向运动时，当\(∠KEI\)度数取最大值时，直接写出线段\(EK\)的长．