知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．证明恒等式：a⁴+b⁴+（a+b）⁴=2（a²+ab+b²）²

难度：较难

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2．若x+y=m+n，且x²+y²=m²+n²．求证：x²⁰⁰¹+y²⁰⁰¹=m²⁰⁰¹+n²⁰⁰¹．

难度：中等

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3．证明以下各式：
（1）若abc=1，则
1
ab+a+1
+
1
bc+b+1
+
1
ac+c+1
=1
（2）若a+b+c=0，则
1
a2+b2-c2
+
1
b2+c2-a2
+
1
c2+a2-b2
=0
（3）已知：
x
a
+
y
b
+
z
c
=1且
a
x
+
b
y
+
c
z
=0，求证：
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
（4）若：x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by．求证：
a
1+a
+
b
1+b
+
c
1+c
=1．

难度：中等

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4．若
x
y+z+t
=
y
z+t+x
=
z
t+x+y
=
t
x+y+z
，记A=
x+y
z+t
+
y+z
t+x
+
z+t
x+y
+
t+x
y+z
，证明：A是一个整数．

难度：中等

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5．命题（*）：设a，b，c是非负实数，如果a⁴+b⁴+c⁴≤2（a²b²+b²c²+c²a²），则a²+b²+c²≤2（ab+bc+ca）
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．

难度：中等

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6．已知
a+b
a-b
=
b+c
2(b-c)
=
c+a
3(c-a)
，a，b，c互不相等．求证：8a+9b+5c=0．

难度：中等

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7．设x，y，z，w为四个互不相等的实数，并且x+
1
y
=y+
1
z
=z+
1
ω
=w+
1
x

求证：x²y²z²w²=1．

难度：中等

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8．证明：
a
x-a
+
bx
(x-a)(x-b)
=
a2
(a-b)(x-a)
+
b2
(b-a(x-b)
．

难度：较难

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9．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a²+b²+c²=x²+y²+z²=ax+by+cz，求证：
x
a
=
y
b
=
z
c

难度：较难

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10．证明以下各式：
（1）
2a-b-c
a2-ab-ac+bc
+
2b-c-a
b2-bc-ab-ac
+
2c-a-b
c2-ca-bc+ab
=0；
（2）x，y，z是互不相等的三个实数则：(
1
x-y
)2+(
1
y-z
)2+(
1
z-x
)2=(
1
x-y
+
1
y-z
+
1
z-x
)2

难度：中等

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