知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图\(①\)，在等边三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(AB\)边上的动点，以\(CD\)为一边，向上作等边三角形\(EDC\)，连接\(AE\)．
\((1)\)求证：\(\triangle DBC\)≌\(\triangle EAC\)．
\((2)\)试说明\(AE/\!/BC\)的理由．
\((3)\)如图\(②\)，当图\(①\)中的点\(D\)运动到边\(BA\)的延长线上时，所作仍为等边三角形\(.\)猜想是否仍有\(AE/\!/BC\)？若成立请证明．

难度：中等

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2．
用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段\(a\)，\(b\)，求作：线段\(AB\)，使\(AB=2b-a\)．

难度：易

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3．
如图\((1)AB=9cm\)，\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)，\(AC=BD=7cm\)，点\(P\)在线段\(AB\)上以\(2cm/s\)的速度由点\(A\)向点\(B\)运动，同时，点\(Q\)在线段\(BD\)上由点\(B\)向点\(D\)运动，它们运动的时间为\(t(s)\)．

\((1)\)若点\(Q\)的运动速度与点\(P\)的运动速度相等，当\(t=1\)时，\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)是否全等，请说明理由；
\((2)\)在\((1)\)的前提条件下，判断此时线段\(PC\)和线段\(PQ\)的位置关系，并证明；
\((3)\)如图\((2)\)，将图\((1)\)中的“\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)”为改“\(∠CAB=∠DBA=50^{\circ}\)”，其他条件不变\(.\)设点\(Q\)的运动速度为\(xcm/s\)，是否存在实数\(x\)，使得\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)全等？若存在，求出相应的\(x\)、\(t\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．
阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用\(.\)具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
\((1)\)如图\(①\)，在\(\triangle ABC\)中，若\(AB=12\)，\(AC=8\)，求\(BC\)边上的中线\(AD\)的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长\(AD\)到点\(E\)使\(DE=AD\)，再连接\(BE\)，把\(AB\)、\(AC\)、\(2AD\)集中在\(\triangle ABE\)中\(.\)利用三角形三边的关系即可判断中线\(AD\)的取值范围是 ______ ；
\((2)\)问题解决：
如图\(②\)，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)是\(BC\)边上的中点，\(DE⊥DF\)于点\(D\)，\(DE\)交\(AB\)于点\(E\)，\(DF\)交\(AC\)于点\(F\)，连接\(EF\)，求证：\(BE+CF > EF\)；
\((3)\)问题拓展：
如图\(③\)，在四边形\(ABCD\)中，\(∠B+∠D=180^{\circ}\)，\(CB=CD\)，\(∠BCD=140^{\circ}\)，以\(C\)为顶点作一个\(70^{\circ}\)角，角的两边分别交\(AB\)，\(AD\)于\(E\)，\(F\)两点，连接\(EF\)，探索线段\(BE\)，\(DF\)，\(EF\)之间的数量关系，并加以证明．

难度：中等

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5．
如图所示，一棱长为\(3cm\)的正方体，把所有的面均分成\(3×3\)个小正方形，其边长都为\(1cm\)，假设一只蚂蚁从下底面点\(A\)沿表面爬行至侧面的\(B\)点，最少要爬 ______ \(cm\)．

难度：较易

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6．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(BG⊥AC\)于\(G\)，\(DE⊥AB\)于\(E\)，\(DF⊥AC\)于\(F\)．
\((1)\)在图\((1)\)中，\(D\)是\(BC\)边上的中点，判断\(DE+DF\)和\(BG\)的关系，并说明理由．
\((2)\)在图\((2)\)中，\(D\)是线段\(BC\)上的任意一点，\(DE+DF\)和\(BG\)的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
\((3)\)在图\((3)\)中，\(D\)是线段\(BC\)延长线上的点，探究\(DE\)、\(DF\)与\(BG\)的关系\(.(\)不要求证明，直接写出结果\()\)

难度：较易

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7．

\(2015\)年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜\((\)如图\().\)在三棱镜的侧面上，从顶点\(A\)到顶点\(A′\)镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为\(8cm\)，底面边长为\(2cm\)，则这圈金属丝的长度至少为\((\)　　\()\)

A．\(8cm\)

B．\(10cm\)

C．\(12cm\)

D．\(15cm\)

难度：较易

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8．
如图\(1\)，在直角坐标系\(xOy\)中，点\(A\)在\(y\)轴上，点\(B\)，点\(C\)在\(x\)轴上，点\(C\)在点\(B\)的右侧，\(OA=2OB=2BC=2\)．
\((1)\)点\(C\)的坐标是 ______ ；
\((2)\)点\(P\)是\(x\)轴上一点，点\(P\)到\(AC\)的距离等于\(AC\)的长度，求点\(P\)的坐标；
\((3)\)如图\(2\)，点\(D\)是\(AC\)上一点，\(∠CBD=∠ABO\)，连接\(OD\)，在\(AB\)上是否存在一点\(Q\)，使\(QB=AB-OD\)，若存在，求点\(Q\)与点\(D\)的横坐标之和，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．

下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是\((\)　　\()\)

A．

B．

C．

D．

难度：易

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10．
阅读材料：
我们曾经解决过如下问题：“如图\(1\)，点\(M\)，\(N\)分别在直线\(AB\)同侧，如何在直线\(AB\)上找到一个点\(P\)，使得\(PM+PN\)最小？”
我们可以经过如下步骤解决这个问题：
\((1)\)画草图\((\)或目标图\()\)分析思路：在直线\(AB\)上任取一点\(P′\)，连接\(P′M\)，\(P′N\)，根据题目需要，作点\(M\)关于直线\(AB\)的对称点\(M′\)，将\(P′M+P′N\)转化为\(P′M′+P′N′\)，“化曲为直”寻找\(P′M′+P′N\)的最小值；
\((2)\)设计画图步骤；
\((3)\)回答结论并验证．
解决下列两个问题：
\((1)\)如图\(2\)，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(BC=5\)，\(EF\)垂直且平分\(BC\)，点\(P\)在直线\(EF\)上，直接写出\(PA+PB\)的最小值，回答\(PA+PB\)取最小值时点\(P\)的位置并在图中标出来；解：\(PA+PB\)的最小值为______，\(PA+PB\)取最小值时点\(P\)的位置是______；
\((2)\)如图\(3\)，点\(M\)，\(N\)分别在直线\(AB\)两侧，在直线\(AB\)上找一点\(P\)，使得\(∠MPB=∠NPB.\)要求画图，并简要叙述确定点\(P\)位置的步骤\(.(\)无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明\()\)
解：确定点\(P\)位置的简要步骤：______．

难度：较易

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