知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(AB=6cm\)，\(AC=4 \sqrt {2}cm\)，\(BC=2 \sqrt {5}cm\)，点\(P\)以\(1cm/s\)的速度从点\(B\)出发沿边\(BA→AC\)运动到点\(C\)停止，运动时间为\(t s\)，点\(Q\)是线段\(BP\)的中点．
\((1)\)若\(CP⊥AB\)时，求\(t\)的值；
\((2)\)若\(\triangle BCQ\)是直角三角形时，求\(t\)的值；
\((3)\)设\(\triangle CPQ\)的面积为\(S\)，求\(S\)与\(t\)的关系式，并写出\(t\)的取值范围．

难度：中等

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2．
有\(4\)根细木棒，长度分别为\(2cm\)，\(3cm\)，\(4cm\)，\(5cm\)，从中任选\(3\)根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ______ ．

难度：易

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3．
问题呈现
如图\(1\)，在边长为\(1\)的正方形网格中，连接格点\(D\)，\(N\)和\(E\)，\(C\)，\(DN\)和\(EC\)相交于点\(P\)，求\(\tan ∠CPN\)的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出\((\)或构造出\()\)一个直角三角形\(.\)观察发现问题中\(∠CPN\)不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点\(M\)，\(N\)，可得\(MN/\!/EC\)，则\(∠DNM=∠CPN\)，连接\(DM\)，那么\(∠CPN\)就变换到\(Rt\triangle DMN\)中．
问题解决
\((1)\)直接写出图\(1\)中\(\tan ∠CPN\)的值为 ______ ；
\((2)\)如图\(2\)，在边长为\(1\)的正方形网格中，\(AN\)与\(CM\)相交于点\(P\)，求\(\cos ∠CPN\)的值；
思维拓展
\((3)\)如图\(3\)，\(AB⊥BC\)，\(AB=4BC\)，点\(M\)在\(AB\)上，且\(AM=BC\)，延长\(CB\)到\(N\)，使\(BN=2BC\)，连接\(AN\)交\(CM\)的延长线于点\(P\)，用上述方法构造网格求\(∠CPN\)的度数．

难度：中等

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4．
如图，圆柱形玻璃杯高为\(14cm\)，底面周长为\(32cm\)，在杯内壁离杯底\(5cm\)的点\(B\)处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿\(3cm\)与蜂蜜相对的点\(A\)处，则蚂蚁从外壁\(A\)处到内壁\(B\)处的最短距离为 ______ \(cm(\)杯壁厚度不计\()\)．

难度：较易

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5．
如图\(1\)，\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，点\(D\)为边\(AC\)上一点，\(DE⊥AB\)于点\(E\)，点\(M\)为\(BD\)中点，\(CM\)的延长线交\(AB\)于点\(F\)．
\((1)\)求证：\(CM=EM\)；
\((2)\)若\(∠BAC=50^{\circ}\)，求\(∠EMF\)的大小；
\((3)\)如图\(2\)，若\(\triangle DAE\)≌\(\triangle CEM\)，点\(N\)为\(CM\)的中点，求证：\(AN/\!/EM\)．

难度：中等

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6．
\((1)\)操作发现：如图\(①\)，小明画了一个等腰三角形\(ABC\)，其中\(AB=AC\)，在\(\triangle ABC\)的外侧分别以\(AB\)，\(AC\)为腰作了两个等腰直角三角形\(ABD\)，\(ACE\)，分别取\(BD\)，\(CE\)，\(BC\)的中点\(M\)，\(N\)，\(G\)，连接\(GM\)，\(GN.\)小明发现了：线段\(GM\)与\(GN\)的数量关系是 ______ ；位置关系是 ______ ．
\((2)\)类比思考：
如图\(②\)，小明在此基础上进行了深入思考\(.\)把等腰三角形\(ABC\)换为一般的锐角三角形，其中\(AB > AC\)，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
\((3)\)深入研究：
如图\(③\)，小明在\((2)\)的基础上，又作了进一步的探究\(.\)向\(\triangle ABC\)的内侧分别作等腰直角三角形\(ABD\)，\(ACE\)，其它条件不变，试判断\(\triangle GMN\)的形状，并给与证明．

难度：中等

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7．已知\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，点\(D\)、\(E\)分别在\(BC\)、\(AC\)边上，连结\(BE\)、\(AD\)交于点\(P\)，设\(AC=kBD\)，\(CD=kAE\)，\(k\)为常数，试探究\(∠APE\)的度数：
\((1)\)如图\(1\)，若\(k=1\)，则\(∠APE\)的度数为______；
\((2)\)如图\(2\)，若\(k= \sqrt {3}\)，试问\((1)\)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出\(∠APE\)的度数．
\((3)\)如图\(3\)，若\(k= \sqrt {3}\)，且\(D\)、\(E\)分别在\(CB\)、\(CA\)的延长线上，\((2)\)中的结论是否成立，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，\(AD⊥BC\)于点\(D\)．
\((1)\)如图\(1\)，点\(E\)，\(F\)在\(AB\)，\(AC\)上，且\(∠EDF=90^{\circ}.\)求证：\(BE=AF\)；
\((2)\)点\(M\)，\(N\)分别在直线\(AD\)，\(AC\)上，且\(∠BMN=90^{\circ}\)．
\(①\)如图\(2\)，当点\(M\)在\(AD\)的延长线上时，求证：\(AB+AN= \sqrt {2}AM\)；
\(②\)当点\(M\)在点\(A\)，\(D\)之间，且\(∠AMN=30^{\circ}\)时，已知\(AB=2\)，直接写出线段\(AM\)的长．

难度：中等

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