知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．如图，点A（0，a ），点B（ b，0 ）且满足a²+2b²-2ab-2b+1=0．经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC⊥CP，与直线BP相交于点P，BP⊥OB．现将直线l绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但P点必须在第一象限内，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）求点A、B的坐标；
（2）探索线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论；
（3）过C作CD⊥OB于点D，试判断CD与OB+PB间的数量关系，并说明理由；
（4）设点P的坐标为（b，c），请直接写出当△PBC为等腰三角形时c= ______ ．

难度：中等

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3．【新知理解】
如图①，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求．
【解决问题】
如图②，AD是边长为6cm的等边三角形ABC的中线，点P、E分别在AD、AC上，则PC+PE的最小值为 ______ cm；
【拓展研究】
如图③，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．（保留作图痕迹，并对作图方法进行说明）

难度：中等

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4．如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=6，AC=8，点D是AC的中点，点P为AB边上的动点（P不与A重合），AP=t（t＞0），PH⊥AC于点H，则PH= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$ t，连结DP并延长至点E，使得PE=PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH
（1）用t的代数式表示DH的长；
（2）求证：DF∥AB；
（3）若△DFH为等腰三角形，求t（0＜t≤5）的值．（提示：以∠A为较小锐角的直角三角形的三边比为3：4：5）

难度：中等

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5．（一）知识拓展
如图Ⅰ，AB∥CD，点E，F在AB上，点M，N在CD上，则S_△MNE=S_△MNF．即同底（或等底）等高（或同高）的三角形的面积相等．
（二）解决问题．
数学兴趣小组的同学利用含30°的角的三个全等直角三角板拼了下面的图形（如图Ⅱ）．
已知∠ACB=∠AFE=∠DCF=90°，∠CAB=∠AEF=∠CDF=30°，点F在AB上．
（1）直接写出图中存在旋转关系的一对三角形；
（2）连接AD，判断四边形ADFE的形状，并写出理由．
（3）若点G是边DF上任意一点，连接GB，GC，设△CAF的面积为S₁，△CBG的面积为S₂，写出S₁与S₂间的数量关系，并证明你的结论．

难度：中等

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6．已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
①∠AEB的度数为 ______ °；
②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为 ______ ．（直接写出答案，不需要说明理由）

难度：中等

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7．小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

（1）取特殊情况，探索讨论：
当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE ______ DB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为 ______ ．（请你画出图形，并直接写出结果）．

难度：中等

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8．数学课上，李老师出示了如框（图2）中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论：当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你接着完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=1，则CD的长为 ______ （请你直接写出结果）．

难度：中等

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9．下列说法中，错误的是（　　）

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部

C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

D．多边形的外角和等于360°

难度：中等

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10．如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，A（0，6），C（8，0），动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发，沿CO向点O移动，设P、Q两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形AOQP的面积为S．
（1）求面积S与时间t的关系式；
（2）在P、Q两点移动的过程中，能否使以C、P、Q为顶点的三角形与A、O、C为顶点的三角形相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

难度：中等

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