在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=\dfrac{1}{9}{{x}^{2}}+bx\)经过点\(A(-3,4)\)．

\((1)\)求\(b\)的值；

\((2)\)过点\(A\)作\(x\)轴的平行线交抛物线于另一点\(B\)，在直线\(AB\)上任取一点\(P\)，作点\(A\)关于直线\(OP\)的对称点\(C\)；

\(②\)连结\(BC\)，求\(BC\)的最小值．

\(P\)是\(⊙C\)外一点，若射线\(PC\)交\(⊙C\)于点\(A\)，\(B\)两点，则给出如下定义：若\(0 < PA\)\(PB\leqslant 3\)，则点\(P\)为\(⊙C\)的“特征点”．

\((1)\)当\(⊙O\)的半径为\(1\)时．

\(①\)在点\(P_{1}(\sqrt{2} ,0)\)、\(P_{2}(0,2)\)、\(P_{3}(4,0)\)中，\(⊙O\)的“特征点”是_________；

\(②\)点\(P\)在直线\(y=x+b\)上，若点\(P\)为\(⊙O\)的“特征点”\(.\)求\(b\)的取值范围；

\((2)⊙C\)的圆心在\(x\)轴上，半径为\(1\)，直线\(y=x+1\)与\(x\)轴，\(y\)轴分别交于点\(M\)，\(N\)，若线段\(MN\)上的所有点都不是\(⊙C\)的“特征点”，直接写出点\(C\)的横坐标的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y={{x}^{2}}-(3m+1)x+2{{m}^{2}}+m(m\succ 0)\)，与\(y\)轴交于点\(C\)，与\(x\)轴交于点\(A({{x}_{1}},0)\)，\(B({{x}_{2}},0)\)，且\({{x}_{1}}\prec {{x}_{2}}\)．

\((1)\)求\(2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3\)的值；

\((2)\)当\(m=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3\)时，将此抛物线沿对称轴向上平移\(n\)个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在\(\triangle ABC\)的内部\((\)不包括\(\triangle ABC\)的边\()\)，求\(n\)的取值范围\((\)直接写出答案即可\()\)．

如图\(1\)，\(C\)是线段\(AB\)上一个定点，动点\(P\)从点\(A\)出发向点\(B\)匀速移动，动点\(Q\)从点\(B\)出发向点\(C\)匀速移动，点\(P\)，\(Q\)同时出发，移动时间记为\(x(s)\)，点\(P\)与点\(C\)的距离记为\(y\)\({\,\!}_{1}\)\((cm)\)，点\(Q\)与点\(C\)的距离记为\(y\)\({\,\!}_{2}\)\((cm).\)  \(y\)\({\,\!}_{1}\)、\(y\)\({\,\!}_{2}\)与\(x\)的关系如图\(2\)所示．

\((2)\)求点\(P\)出发\(3\)秒后\(y\)\({\,\!}_{1}\)与\(x\)之间的函数关系式；

\((1)\)在所给坐标系中画出一次函数\(y=kx+b\)的图象；

\((2)\)求\(k\)，\(b\)的值；

\((3)\)将一次函数\(y=kx+b\)的图象向上平移\(4\)个单位长度，求所得到新的函数图象与\(x\)轴，\(y\)轴的交点坐标．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，将任意两点\(P\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)与\(Q({x}_{2},{y}_{2}) \)之间的“直距”定义为：\({{D}_{PQ}}=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|+\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|\)．

已知点\(A(1,0)\)、点\(B(-1,4)\)．

\((1)\)则\({D}_{AO}= \)_________，\({D}_{BO}= \)_________；

\((2)\)如果直线\(AB\)上存在点\(C\)，使得\({{D}_{CO}}\)为\(2\)，请你求出点\(C\)的坐标；

\((3)\)如果\(⊙B\)的半径为\(3\)，点\(E\)为\(⊙B\)上一点，请你直接写出\({{D}_{EO}}\)的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y={{x}^{2}}-(3m+1)x+2{{m}^{2}}+m(m > 0)\)，与\(y\)轴交于点\(C\)，与\(x\)轴交于点\(A({{x}_{1}},0)\)，\(B({{x}_{2}},0)\)，且\({{x}_{1}} < {{x}_{2}}\)．

\((1)\)求\(2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3\)的值；

\((2)\)当\(m=2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+3\)时，将此抛物线沿对称轴向上平移\(n\)个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在\(\triangle ABC\)的内部\((\)不包括\(\triangle ABC\)的边\()\)，求\(n\)的取值范围\((\)直接写出答案即可\()\)．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，对于点\(P\)和\(\odot C\)，给出如下定义：若\(\odot C\)上存在一点\(T\)不与\(O\)重合，使点\(P\)关于直线\(OT\)的对称点\(P{{{'}}}\)在\(\odot C\)上，则称\(P\)为\(\odot C\)的反射点\(.\)下图为\(\odot C\)的反射点\(P\)的示意图．

\((1)\)已知点\(A\)的坐标为\((1,0)\)，\(\odot A\)的半径为\(2\)，

\(①\)在点\(O(0,0)\)，\(M(1,2)\)，\(N(0,-3)\)中，\(\odot A\)的反射点是____________；

\(②\)点\(P\)在直线\(y=-x\)上，若\(P\)为\(\odot A\)的反射点，求点\(P\)的横坐标的取值范围；

\((2)\odot C\)的圆心在\(x\)轴上，半径为\(2\)，\(y\)轴上存在点\(P\)是\(\odot C\)的反射点，直接写出圆心\(C\)的横坐标\(x\)的取值范围．

小带和小路两个人开车从 \(A\) 城出发匀速行驶至 \(B\)城\(.\)在整个行驶过程中，小带和小路两人的车离开 \(A\) 城的距离 \(y(\)千米\()\)与行驶的时间 \(t(\)小时\()\)之间的函数关系如图所示。有下列结论； \(①A\)、\(B\) 两城相距\(300\)千米；\(②\)小路的车比小带的车晚出发\(1\)小时，却早到\(1\)小时；\(③\)小路的车出发后\(2.5\)小时追上小带的车； \(④\)当小带和小路的车相距\(50\)千米时，\(t=\dfrac{5}{4}\)或\(t=\dfrac{15}{4}\)。其中正确的结论有