如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=-{{x}^{2}}+bx+c\)经过\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)两点．

\((1)\)求抛物线的表达式；

\((2)\)抛物线\(y=-{{x}^{2}}+bx+c\)在第一象限内的部分记为图象\(G\)，如果过点\(P(-3,4)\)的直线\(y=mx+n(m\neq 0)\)与图象\(G\)有唯一公共点，请结合图象，求\(n\)的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，对于半径为\(r(r > 0)\)的\(⊙O\)和点\(P\)，给出如下定义：若\(r\leqslant PO\leqslant \dfrac{3}{2}r \)，则称\(P\)为\(⊙O\)的“近外点”．

\((1)\)当\(⊙O\) 的半径为\(2\)时，点\(A(4,0)\)， \(B (-\dfrac{5}{2},0)\)，\(C(0, 3)\)，\(D (1,-1)\)中，\(⊙O\)的“近外点”是_____；

\((2)\)若点\(E(3,4)\)是\(⊙O\)的“近外点”，求\(⊙O\)的半径\(r\)的取值范围；

\((3)\)当\(⊙O\) 的半径为\(2\)时，直线\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+b(b\neq 0)\)与\(x\)轴交于点\(M\)，与\(y\)轴交于点\(N\)，若线段\(MN\)上存在\(⊙O\)的“近外点”，直接写出\(b\)的取值范围．

已知抛物线：\(y=m{{x}^{2}}-2mx+m+1(m\ne 0)\)．

\((1)\)求抛物线的顶点坐标．

\((2)\)若直线\({{l}_{1}}\)经过\((2,0)\)点且与\(x\)轴垂直，直线\({{l}_{2}}\)经过抛物线的顶点与坐标原点，且\({{l}_{1}}\)与\({{l}_{2}}\)的交点\(P\)在抛物线上\(.\)求抛物线的表达式．

\((3)\)已知点\(A(0,2)\)，点\(A\)关于\(x\)轴的对称点为点\(B.\)抛物线与线段\(AB\)恰有一个公共点，结合函数图象写出\(m\)的取值范围．

已知在平面直角坐标系\(xOy\)中的点\(P\)和图形\(G\)，给出如下的定义：若在图形\(G\)上存在一点\(Q\) ，使得\(P\)，\(Q\)之间的距离等于\(1\)，则称\(P\)为图形\(G\)的关联点．

\((1)\)当\(\odot O\)的半径为\(1\)时，

\(①\)点\({{P}_{1}}(\dfrac{1}{2},0)\)，\({{P}_{2}}(1,\sqrt{3})\)，\({{P}_{3}}(0,3)\)中，\(\odot O\)的关联点有_____________________．

\(②\)直线\(l\)经过\((0,1)\)点，且与\(y\)轴垂直，点\(P\)在直线\(l\)上\(.\)若\(P\)是\(\odot O\)的关联点，求点\(P\)的横坐标\(x\)的取值范围．

\((2)\)已知正方形\(ABCD\)的边长为\(4\)，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直\(.\)若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径\(r\)的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，\(A\)，\(B\)两点的坐标分别为\(A(2,2)\)，\(B(2,-2).\)对于给定的线段\(AB\)及点\(P\)，\(Q\)，给出如下定义：若点\(Q\)关于\(AB\)所在直线的对称点\({Q}{{{'}}}\)落在\(\triangle ABP\)的内部\((\)不含边界\()\)，则称点\(Q\)是点\(P\)关于线段\(AB\)的内称点．

\((2)\)已知点\(C(3,3)\)，\(⊙C\)的半径为\(r\)，点\(D(4,0)\)，若点\(E\)是点\(D\)关于线段\(AB\)的内称点，且满足直线\(DE\)与\(⊙C\)相切，求半径\(r\)的取值范围．