如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=-{{x}^{2}}+bx+c\)经过\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)两点．

\((1)\)求抛物线的表达式；

\((2)\)抛物线\(y=-{{x}^{2}}+bx+c\)在第一象限内的部分记为图象\(G\)，如果过点\(P(-3,4)\)的直线\(y=mx+n(m\neq 0)\)与图象\(G\)有唯一公共点，请结合图象，求\(n\)的取值范围．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，函数\(y=\dfrac{a}{x}(x > 0)\)的图象与直线\(l_{1}:y=x+b\)交于点\(A(3,a-2)\)．

   \((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；

   \((2)\)直线\(l_{2}:y=-x+m\)与\(x\)轴交于点\(B\)，与直线\({{l}_{1}}\)交于点\(C\)，若\(S_{\triangle ABC}\geqslant 6\)，求\(m\)的取值范围．

我们给出如下定义：两个图形\(G_{1}\)和\(G_{2}\)，在\(G_{1}\)上的任意一点\(P\)引出两条垂直的射线与\(G_{2}\)相交于点\(M\)、\(N\)，如果\(PM=PN\)，我们就称\(M\)、\(N\)为点\(P\)的垂等点，\(PM\)、\(PN\)为点\(P\)的垂等线段，点\(P\)为垂等射点．

\((1)\)如图\(1\)，在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P(1,0)\)为\(x\)轴上的垂等射点，过\(A(0,3)\)作\(x\)轴的平行线\(l\)，则直线\(l\)上的\(B(-2,3)\)， \(C(-1,3)\)，\(D(3,3)\)，\(E(4,3)\)为点\(P\)的垂等点的是________________________；

\((2)\)如果一次函数图象过\(M(0,3)\)，点\(M\)为垂等射点\(P(1,0)\)的一个垂等点且另一个垂等点\(N\)也在此一次函数图象上，在图\(2\)中画出示意图并写出一次函数表达式；

\((3)\)如图\(3\)，以点\(O\)为圆心，\(1\)为半径作\(⊙O\)，垂等射点\(P\)在\(⊙O\)上，垂等点在经过\((3,0)\)，\((0,3)\)的直线上，如果关于点\(P\)的垂等线段始终存在，求垂等线段\(PM\)长的取值范围\((\)画出图形直接写出答案即可\()\)．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，二次函数\(y=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0)\)的图象经过\(A(0,4)\)，\(B(2,0)\)，\(C(-2,0)\)三点．

   \((1)\)求二次函数的表达式；

   \((2)\)在\(x\)轴上有一点\(D(-4,0)\)，将二次函数的图象沿射线\(DA\)方向平移，使图象再次经过点\(B\)．

        \(①\)求平移后图象顶点\(E\)的坐标；

        \(②\)直接写出此二次函数的图象在\(A\)，\(B\)两点之间\((\)含\(A\)，\(B\)两点\()\)的曲线部分在平移过程中所扫过的面积．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，斜边\(AB\)在\(x\)轴上，点\(C\)在\(y\)轴的正半轴上，直线\(AC\)的解析式是\(y=-2x+4\)，则直线\(BC\)的解析式为_________________

\((1)\)甲乙两地之间的距离为       千米；

\((2)\)求快车和慢车的速度；

\((3)\)求线段\(DE\)所表示的\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围．