知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)过\(A\)，\(B\)，\(C\)三点，点\(A\)的坐标是\((3,0)\)，点\(C\)的坐标是\((0,-3)\)，动点\(P\)在抛物线上．

\((1)b=\) ______ ，\(c=\) ______ ，点\(B\)的坐标为 ______ ；\((\)直接填写结果\()\)
\((2)\)是否存在点\(P\)，使得\(\triangle ACP\)是以\(AC\)为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由；
\((3)\)过动点\(P\)作\(PE\)垂直\(y\)轴于点\(E\)，交直线\(AC\)于点\(D\)，过点\(D\)作\(x\)轴的垂线\(.\)垂足为\(F\)，连接\(EF\)，当线段\(EF\)的长度最短时，求出点\(P\)的坐标．

难度：难

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2．
某超市销售一种商品，成本每千克\(40\)元，规定每千克售价不低于成本，且不高于\(80\)元，经市场调查，每天的销售量\(y(\)千克\()\)与每千克售价\(x(\)元\()\)满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价\(x(\)元\(/\)千克\()\) \(50\) \(60\) \(70\)

销售量\(y(\)千克\()\) \(100\) \(80\) \(60\)

\((1)\)求\(y\)与\(x\)之间的函数表达式；
\((2)\)设商品每天的总利润为\(W(\)元\()\)，求\(W\)与\(x\)之间的函数表达式\((\)利润\(=\)收入\(-\)成本\()\)；
\((3)\)试说明\((2)\)中总利润\(W\)随售价\(x\)的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

难度：难

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3．
如图，已知：抛物线\(y=ax^{2}+bx+2(a\neq 0)\)交\(x\)轴于\(A(-1,0)\)，\(B(4,0)\)两点，交\(y\)轴于点\(C\)，与过点\(C\)且平行于\(x\)轴的直线交于另一点\(D\)，点\(P\)是抛物线上一动点．
\((1)\)求抛物线解析式及点\(D\)坐标；
\((2)\)若点\(E\)在\(x\)轴上，且以\(A\)，\(E\)，\(D\)，\(P\)为顶点的四边形是平行四边形，求点\(P\)的坐标；
\((3)\)若点\(P\)在\(y\)轴右侧，过点\(P\)作直线\(CD\)的垂线，垂足为\(Q\)，若将\(\triangle CPQ\)沿\(CP\)翻折，点\(Q\)的对应点为\(Q′.\)是否存在点\(P\)，使\(Q′\)恰好落在\(x\)轴上？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．

难度：难

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4．
如图，在平面直角坐标系中，直线\(y=-3x-3\)与\(x\)轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(C.\)抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)经过\(A\)，\(C\)两点，且与\(x\)轴交于另一点\(B(\)点\(B\)在点\(A\)右侧\()\)．
\((1)\)求抛物线的解析式及点\(B\)坐标；
\((2)\)若点\(M\)是线段\(BC\)上一动点，过点\(M\)的直线\(EF\)平行\(y\)轴交\(x\)轴于点\(F\)，交抛物线于点\(E.\)求\(ME\)长的最大值；
\((3)\)试探究当\(ME\)取最大值时，在\(x\)轴下方抛物线上是否存在点\(P\)，使以\(M\)，\(F\)，\(B\)，\(P\)为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点\(P\)的坐标；若不存在，试说明理由．

难度：难

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5．
如图，抛物线\(y= \dfrac {1}{4}x^{2}+ \dfrac {1}{4}x+c\)与\(x\)轴的负半轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(B\)，连结\(AB\)，点\(C(6, \dfrac {15}{2})\)在抛物线上，直线\(AC\)与\(y\)轴交于点\(D\)．
\((1)\)求\(c\)的值及直线\(AC\)的函数表达式；
\((2)\)点\(P\)在\(x\)轴正半轴上，点\(Q\)在\(y\)轴正半轴上，连结\(PQ\)与直线\(AC\)交于点\(M\)，连结\(MO\)并延长交\(AB\)于点\(N\)，若\(M\)为\(PQ\)的中点．
\(①\)求证：\(\triangle APM\)∽\(\triangle AON\)；
\(②\)设点\(M\)的横坐标为\(m\)，求\(AN\)的长\((\)用含\(m\)的代数式表示\()\)．

难度：难

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6．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y=- \dfrac {4}{3}x^{2}+bx+c\)与\(x\)轴交于\(A\)、\(D\)两点，与\(y\)轴交于点\(B\)，四边形\(OBCD\)是矩形，点\(A\)的坐标为\((1,0)\)，点\(B\)的坐标为\((0,4)\)，已知点\(E(m,0)\)是线段\(DO\)上的动点，过点\(E\)作\(PE⊥x\)轴交抛物线于点\(P\)，交\(BC\)于点\(G\)，交\(BD\)于点\(H\)．
\((1)\)求该抛物线的解析式；
\((2)\)当点\(P\)在直线\(BC\)上方时，请用含\(m\)的代数式表示\(PG\)的长度；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，是否存在这样的点\(P\)，使得以\(P\)、\(B\)、\(G\)为顶点的三角形与\(\triangle DEH\)相似？若存在，求出此时\(m\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：难

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7．
如图，已知抛物线\(y= \dfrac {1}{3}x^{2}+bx+c\)经过\(\triangle ABC\)的三个顶点，其中点\(A(0,1)\)，点\(B(-9,10)\)，\(AC/\!/x\)轴，点\(P\)是直线\(AC\)下方抛物线上的动点．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)过点\(P\)且与\(y\)轴平行的直线\(l\)与直线\(AB\)、\(AC\)分别交于点\(E\)、\(F\)，当四边形\(AECP\)的面积最大时，求点\(P\)的坐标；
\((3)\)当点\(P\)为抛物线的顶点时，在直线\(AC\)上是否存在点\(Q\)，使得以\(C\)、\(P\)、\(Q\)为顶点的三角形与\(\triangle ABC\)相似，若存在，求出点\(Q\)的坐标，若不存在，请说明理由．

难度：难

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8．
如图\(1\)，抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)经过平行四边形\(ABCD\)的顶点\(A(0,3)\)、\(B(-1,0)\)、\(D(2,3)\)，抛物线与\(x\)轴的另一交点为\(E.\)经过点\(E\)的直线\(l\)将平行四边形\(ABCD\)分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点\(F.\)点\(P\)为直线\(l\)上方抛物线上一动点，设点\(P\)的横坐标为\(t\)．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)当\(t\)何值时，\(\triangle PFE\)的面积最大？并求最大值的立方根；
\((3)\)是否存在点\(P\)使\(\triangle PAE\)为直角三角形？若存在，求出\(t\)的值；若不存在，说明理由．

难度：难

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9．
某超市销售一种牛奶，进价为每箱\(24\)元，规定售价不低于进价\(.\)现在的售价为每箱\(36\)元，每月可销售\(60\)箱\(.\)市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价\(1\)元，则每月的销量将增加\(10\)箱，设每箱牛奶降价\(x\)元\((x\)为正整数\()\)，每月的销量为\(y\)箱．
\((1)\)写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式和自变量\(x\)的取值范围；
\((2)\)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

难度：难

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10．
如图，直线\(y=- \dfrac {1}{2}x+1\)与\(x\)轴交于点\(A\)，与\(y\)轴交于点\(B\)，抛物线\(y=-x^{2}+bx+c\)经过\(A\)、\(B\)两点．
\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)点\(P\)是第一象限抛物线上的一点，连接\(PA\)、\(PB\)、\(PO\)，若\(\triangle POA\)的面积是\(\triangle POB\)面积的\( \dfrac {4}{3}\)倍\(.\)
\(①\)求点\(P\)的坐标；
\(②\)点\(Q\)为抛物线对称轴上一点，请直接写出\(QP+QA\)的最小值；
\((3)\)点\(M\)为直线\(AB\)上的动点，点\(N\)为抛物线上的动点，当以点\(O\)、\(B\)、\(M\)、\(N\)为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点\(M\)的坐标．

难度：难

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售价\(x(\)元\(/\)千克\()\)	\(50\)	\(60\)	\(70\)
销售量\(y(\)千克\()\)	\(100\)	\(80\)	\(60\)